Theorem stoweidlem24 42329

Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑡 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent 𝑘, 𝐷 to represent δ, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem24.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem24.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9	⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)   𝑉(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10642	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
4	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ ℝ)
5	1, 4	resubcld 11068	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 11957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
10	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
12	11	rabeq2i 3487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)))
13	12	simplbi 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → 𝑡 ∈ 𝑇)
14	13	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑡 ∈ 𝑇)
15	10, 14	ffvelrnd 6852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
16	8, 15	remulcld 10671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ)
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	16, 18	reexpcld 13528	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ∈ ℝ)
20	1, 19	resubcld 11068	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ∈ ℝ)
21	15, 18	reexpcld 13528	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
22	1, 21	resubcld 11068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
23	6, 17	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25		nn0expcl 13444	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	reexpcld 13528	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
28		1red 10642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	7, 30	remulcld 10671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 11885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
33	32, 17	reexpcld 13528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
34	28, 33	resubcld 11068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
35	34	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
37	36	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
38	33	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
39	32	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
40	6	nn0ge0d 11959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
41	7, 40	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
42	41	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
44	43	r19.21bi 3208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
45	44	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
46	13, 45	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
47		mulge0 11158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ ((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡))) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
49	30	rehalfcld 11885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
50	49	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
51	12	simprbi 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
52	51	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
53	15, 50, 52	ltled 10788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2))
54		lemul2a 11495	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾)) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2)) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
56	6	nn0cnd 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
57	56	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℂ)
58	29	rpcnd 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
59	58	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ ℂ)
60		2cnne0 11848	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62		divass 11316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
64	55, 63	breqtrrd 5094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))
65		leexp1a 13540	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∧ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 11257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≤ (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 10800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
69	15	recnd 10669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℂ)
70	57, 69, 18	mulexpd 13526	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) = ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)))
71	70	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) = ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁))
72	71	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) = (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
73	13, 44	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
74	73	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
75		exple1 13541	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
77		stoweidlem10 42315	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
79	72, 78	eqbrtrrd 5090	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 10800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
81		stoweidlem24.2	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 42317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
83	13, 82	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
84	80, 83	breqtrrd 5094	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870   / cdiv 11297  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℝ⁺crp 12390  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  42350