Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem24 40559
 Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑡 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent qn in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent 𝑘, 𝐷 to represent δ, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1 𝑉 = {𝑡𝑇 ∣ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
stoweidlem24.3 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem24.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9 (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄𝑡))
Distinct variable group:   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)   𝑉(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1red 10093 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → 1 ∈ ℝ)
2 stoweidlem24.8 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 11910 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐸 ∈ ℝ)
51, 4resubcld 10496 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
6 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
76nn0red 11390 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐾 ∈ ℝ)
9 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
11 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10 𝑉 = {𝑡𝑇 ∣ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)}
1211rabeq2i 3228 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑉 ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)))
1312simplbi 475 . . . . . . . 8 (𝑡𝑉𝑡𝑇)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑡𝑇)
1510, 14ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
168, 15remulcld 10108 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ∈ ℝ)
17 stoweidlem24.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1916, 18reexpcld 13065 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ∈ ℝ)
201, 19resubcld 10496 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)) ∈ ℝ)
2115, 18reexpcld 13065 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
221, 21resubcld 10496 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
236, 17jca 553 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
25 nn0expcl 12914 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26reexpcld 13065 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
28 1red 10093 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpred 11910 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
317, 30remulcld 10108 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
3231rehalfcld 11317 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
3332, 17reexpcld 13065 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3428, 33resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
3534adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem24.9 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3736adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3833adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3932adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
406nn0ge0d 11392 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
417, 40jca 553 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
43 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
4443r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
4544simpld 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝑃𝑡))
4613, 45sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 0 ≤ (𝑃𝑡))
47 mulge0 10584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ ((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃𝑡))) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)))
4842, 15, 46, 47syl12anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)))
4930rehalfcld 11317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5112simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝑉 → (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2))
5251adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2))
5315, 50, 52ltled 10223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ≤ (𝐷 / 2))
54 lemul2a 10916 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾)) ∧ (𝑃𝑡) ≤ (𝐷 / 2)) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
5515, 50, 42, 53, 54syl31anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
566nn0cnd 11391 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
5756adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐾 ∈ ℂ)
5829rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5958adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐷 ∈ ℂ)
60 2cnne0 11280 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62 divass 10741 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
6357, 59, 61, 62syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
6455, 63breqtrrd 4713 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))
65 leexp1a 12959 . . . . . 6 ((((𝐾 · (𝑃𝑡)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)) ∧ (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
6616, 39, 18, 48, 64, 65syl32anc 1374 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
6719, 38, 1, 66lesub2dd 10682 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≤ (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
685, 35, 20, 37, 67ltletrd 10235 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
6915recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ∈ ℂ)
7057, 69, 18mulexpd 13063 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) = ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
7170eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁))
7271oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) = (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
7313, 44sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
7473simprd 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ≤ 1)
75 exple1 12960 . . . . . 6 ((((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
7615, 46, 74, 18, 75syl31anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
77 stoweidlem10 40545 . . . . 5 ((((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
7821, 26, 76, 77syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
7972, 78eqbrtrrd 4709 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
805, 20, 27, 68, 79ltletrd 10235 . 2 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
81 stoweidlem24.2 . . . 4 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8281, 9, 17, 6stoweidlem12 40547 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8313, 82sylan2 490 . 2 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8480, 83breqtrrd 4713 1 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄𝑡))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℝ+crp 11870  ↑cexp 12900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901 This theorem is referenced by:  stoweidlem45  40580
 Copyright terms: Public domain W3C validator