Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem24 39535
Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑡 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent qn in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent 𝑘, 𝐷 to represent δ, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1 𝑉 = {𝑡𝑇 ∣ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
stoweidlem24.3 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem24.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9 (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄𝑡))
Distinct variable group:   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)   𝑉(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1red 10000 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → 1 ∈ ℝ)
2 stoweidlem24.8 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 11816 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐸 ∈ ℝ)
51, 4resubcld 10403 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
6 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
76nn0red 11297 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐾 ∈ ℝ)
9 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
11 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10 𝑉 = {𝑡𝑇 ∣ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)}
1211rabeq2i 3188 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑉 ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)))
1312simplbi 476 . . . . . . . 8 (𝑡𝑉𝑡𝑇)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑡𝑇)
1510, 14ffvelrnd 6317 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
168, 15remulcld 10015 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ∈ ℝ)
17 stoweidlem24.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1916, 18reexpcld 12962 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ∈ ℝ)
201, 19resubcld 10403 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)) ∈ ℝ)
2115, 18reexpcld 12962 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
221, 21resubcld 10403 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
236, 17jca 554 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
25 nn0expcl 12811 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26reexpcld 12962 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
28 1red 10000 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpred 11816 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
317, 30remulcld 10015 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
3231rehalfcld 11224 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
3332, 17reexpcld 12962 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3428, 33resubcld 10403 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
3534adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem24.9 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3736adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3833adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3932adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
406nn0ge0d 11299 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
417, 40jca 554 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
4241adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
43 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
4443r19.21bi 2932 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
4544simpld 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝑃𝑡))
4613, 45sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 0 ≤ (𝑃𝑡))
47 mulge0 10491 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ ((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃𝑡))) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)))
4842, 15, 46, 47syl12anc 1321 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)))
4930rehalfcld 11224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5049adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5112simprbi 480 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝑉 → (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2))
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2))
5315, 50, 52ltled 10130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ≤ (𝐷 / 2))
54 lemul2a 10823 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾)) ∧ (𝑃𝑡) ≤ (𝐷 / 2)) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
5515, 50, 42, 53, 54syl31anc 1326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
566nn0cnd 11298 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐾 ∈ ℂ)
5829rpcnd 11818 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5958adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐷 ∈ ℂ)
60 2cnne0 11187 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62 divass 10648 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
6357, 59, 61, 62syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
6455, 63breqtrrd 4646 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))
65 leexp1a 12856 . . . . . 6 ((((𝐾 · (𝑃𝑡)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)) ∧ (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
6616, 39, 18, 48, 64, 65syl32anc 1331 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
6719, 38, 1, 66lesub2dd 10589 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≤ (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
685, 35, 20, 37, 67ltletrd 10142 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
6915recnd 10013 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ∈ ℂ)
7057, 69, 18mulexpd 12960 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) = ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
7170eqcomd 2632 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁))
7271oveq2d 6621 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) = (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
7313, 44sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
7473simprd 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ≤ 1)
75 exple1 12857 . . . . . 6 ((((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
7615, 46, 74, 18, 75syl31anc 1326 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
77 stoweidlem10 39521 . . . . 5 ((((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
7821, 26, 76, 77syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
7972, 78eqbrtrrd 4642 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
805, 20, 27, 68, 79ltletrd 10142 . 2 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
81 stoweidlem24.2 . . . 4 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8281, 9, 17, 6stoweidlem12 39523 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8313, 82sylan2 491 . 2 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8480, 83breqtrrd 4646 1 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  {crab 2916   class class class wbr 4618  cmpt 4678  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  2c2 11015  0cn0 11237  +crp 11776  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  39556
  Copyright terms: Public domain W3C validator