MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odcong 17949
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odcong ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem odcong
StepHypRef Expression
1 zsubcl 11404 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
2 odcl.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . 4 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . 4 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5oddvds 17947 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ ((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ))
71, 6syl3an3 1359 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ ((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ))
8 simp1 1059 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simp3l 1087 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 simp3r 1088 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11 simp2 1060 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐴𝑋)
12 eqid 2620 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
132, 4, 12mulgsubdir 17563 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑀𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
148, 9, 10, 11, 13syl13anc 1326 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
1514eqeq1d 2622 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ))
162, 4mulgcl 17540 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
178, 9, 11, 16syl3anc 1324 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
182, 4mulgcl 17540 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
198, 10, 11, 18syl3anc 1324 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
202, 5, 12grpsubeq0 17482 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
218, 17, 19, 20syl3anc 1324 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
227, 15, 213bitrd 294 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cmin 10251  cz 11362  cdvds 14964  Basecbs 15838  0gc0g 16081  Grpcgrp 17403  -gcsg 17405  .gcmg 17521  odcod 17925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-od 17929
This theorem is referenced by:  odf1  17960  dfod2  17962  odf1o1  17968  odf1o2  17969  chrcong  19858  cygznlem1  19896  dchrptlem1  24970
  Copyright terms: Public domain W3C validator