MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddge22np1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddge22np1 15000
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 nn0z 11347 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
32adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4 eluz2 11640 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5 2re 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7 1red 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8 2nn0 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
136, 7, 12lesubaddd 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14 2m1e1 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
1514breq1i 4622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16 nn0re 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
17 2pos 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
185, 17pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
20 ledivmul 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
217, 16, 19, 20syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
22 halfgt0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < (1 / 2)
23 0red 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
24 halfre 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26 ltletr 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2723, 25, 16, 26syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2822, 27mpani 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
2921, 28sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
3015, 29syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
3113, 30sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33323ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
344, 33sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
3534imp 445 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
36 elnnz 11334 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
373, 35, 36sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
3837ex 450 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ))
391, 38syl6bir 244 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ)))
4039com13 88 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ)))
4140impcom 446 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ))
4241pm4.71rd 666 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4342bicomd 213 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4443rexbidva 3042 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
45 nnssnn0 11242 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
46 rexss 3650 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4745, 46mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
48 eluzge2nn0 11674 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49 oddnn02np1 14999 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
5048, 49syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
5144, 47, 503bitr4rd 301 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3556   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213   / cdiv 10631  cn 10967  2c2 11017  0cn0 11239  cz 11324  cuz 11634  cdvds 14910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fl 12536  df-dvds 14911
This theorem is referenced by:  lighneallem3  40839
  Copyright terms: Public domain W3C validator