Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ibliooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibliooicc 39520
Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ibliooicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ibliooicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ibliooicc.3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibliooicc.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ibliooicc (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibliooicc
StepHypRef Expression
1 ibliooicc.3 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
2 ioossicc 12209 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 ibliooicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 ibliooicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 39169 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74rexrd 10041 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
85rexrd 10041 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9 icc0 12173 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
107, 8, 9syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
1110biimpar 502 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
1211difeq1d 3710 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)))
13 0dif 3954 . . . . . . . 8 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
14 0ss 3949 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ {𝐴, 𝐵}
1513, 14eqsstri 3619 . . . . . . 7 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
1612, 15syl6eqss 3639 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
17 ssid 3608 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))
187adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
198adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21 iccdifioo 39183 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
2218, 19, 20, 21syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
2317, 22syl5sseq 3637 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
2416, 23, 5, 4ltlecasei 10097 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
25 prssi 4326 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
264, 5, 25syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
27 prfi 8187 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
28 ovolfi 23185 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
2927, 26, 28sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
30 ovolssnul 23178 . . . . 5 ((((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
3124, 26, 29, 30syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
32 ibliooicc.4 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
333, 6, 31, 32itgss3 23504 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥))
3433simpld 475 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
351, 34mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3556  wss 3559  c0 3896  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  (,)cioo 12125  [,]cicc 12128  vol*covol 23154  𝐿1cibl 23309  citg 23310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-rest 16015  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674  df-cmp 21113  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311  df-itg1 23312  df-itg2 23313  df-ibl 23314  df-itg 23315
This theorem is referenced by:  fourierdlem69  39725  fourierdlem73  39729  fourierdlem81  39737  fourierdlem93  39749
  Copyright terms: Public domain W3C validator