MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsplitioo 23544
Description: The integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgsplitioo.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgsplitioo.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgsplitioo.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
itgsplitioo.5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgsplitioo.6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 elicc2 12196 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
61, 5mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶))
76simp2d 1072 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
86simp1d 1071 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
92, 8leloed 10140 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
107, 9mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
1110ord 392 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
122rexrd 10049 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
13 iooss1 12168 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1412, 7, 13syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1514sselda 3588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
1715, 16syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
1917, 18itgcl 23490 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
2019addid2d 10197 . . . . 5 (𝜑 → (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2120eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
22 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
23 itgeq1 23479 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
25 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
26 iooid 12161 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐵) = ∅
2725, 26syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
28 itgeq1 23479 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
30 itg0 23486 . . . . . . 7 ∫∅𝐷 d𝑥 = 0
3129, 30syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = 0)
3231oveq1d 6630 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
3324, 32eqeq12d 2636 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) ↔ ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3421, 33syl5ibrcom 237 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3511, 34syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
366simp3d 1073 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
378, 3leloed 10140 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3836, 37mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
3938ord 392 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
403rexrd 10049 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
41 iooss2 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4240, 36, 41syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4342sselda 3588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
4443, 16syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
4644, 45itgcl 23490 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
4746addid1d 10196 . . . . 5 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
4847eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0))
49 oveq2 6623 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶))
50 itgeq1 23479 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
52 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐶))
5326, 52syl5eqr 2669 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ∅ = (𝐵(,)𝐶))
54 itgeq1 23479 . . . . . . . 8 (∅ = (𝐵(,)𝐶) → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5630, 55syl5eqr 2669 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → 0 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5756oveq2d 6631 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
5851, 57eqeq12d 2636 . . . 4 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) ↔ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
5948, 58syl5ibcom 235 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
6039, 59syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
61 indir 3857 . . . . . . . 8 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)))
628rexrd 10049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6312, 62jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6562, 40jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
678adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6867leidd 10554 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵𝐵)
69 ioodisj 12260 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7064, 66, 68, 69syl21anc 1322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
71 incom 3789 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵})
7267ltnrd 10131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
73 eliooord 12191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐵𝐵 < 𝐶))
7473simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐵 < 𝐵)
7572, 74nsyl 135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
76 disjsn 4223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7775, 76sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅)
7871, 77syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7970, 78uneq12d 3752 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (∅ ∪ ∅))
80 un0 3945 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ ∅) = ∅
8179, 80syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = ∅)
8261, 81syl5eq 2667 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
8382fveq2d 6162 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (vol*‘∅))
84 ovol0 23201 . . . . . 6 (vol*‘∅) = 0
8583, 84syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = 0)
8612, 62, 403jca 1240 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
87 ioojoin 12261 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8886, 87sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8988eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐶) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)))
9016adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
9145adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
92 ssun1 3760 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})
9392a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
94 ioossre 12193 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9594a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9667snssd 4316 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
9795, 96unssd 3773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
98 uncom 3741 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
9998difeq1i 3708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵))
100 difun2 4026 . . . . . . . . . . . 12 (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
10199, 100eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
102 difss 3721 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
103101, 102eqsstri 3620 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵})
105 ovolsn 23203 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
10667, 105syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘{𝐵}) = 0)
107 ovolssnul 23195 . . . . . . . . 9 (((((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐵}) = 0) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
108104, 96, 106, 107syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
109 ssun1 3760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶))
110109, 88syl5sseq 3638 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
111110sselda 3588 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
112111, 90syldan 487 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
11393, 97, 108, 112itgss3 23521 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥))
114113simpld 475 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1))
11591, 114mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11618adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11785, 89, 90, 115, 116itgsplit 23542 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
118113simprd 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥)
119118oveq1d 6630 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
120117, 119eqtr4d 2658 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
121120ex 450 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
12235, 60, 121ecased 984 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3557  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3897  {csn 4155   class class class wbr 4623  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896   + caddc 9899  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  (,)cioo 12133  [,]cicc 12136  vol*covol 23171  𝐿1cibl 23326  citg 23327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cmp 21130  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328  df-itg1 23329  df-itg2 23330  df-ibl 23331  df-itg 23332  df-0p 23377
This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  23564  ftc1lem1  23736  ftc1anc  33164  fourierdlem103  39763  fourierdlem104  39764  fourierdlem111  39771  sqwvfoura  39782  sqwvfourb  39783
  Copyright terms: Public domain W3C validator