MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsplitioo 23323
Description: The integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgsplitioo.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgsplitioo.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgsplitioo.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
itgsplitioo.5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgsplitioo.6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 elicc2 12061 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
61, 5mpbid 220 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶))
76simp2d 1066 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
86simp1d 1065 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
92, 8leloed 10027 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
107, 9mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
1110ord 390 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
122rexrd 9941 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
13 iooss1 12033 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1412, 7, 13syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
1514sselda 3563 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
1715, 16syldan 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
1917, 18itgcl 23269 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
2019addid2d 10084 . . . . 5 (𝜑 → (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2120eqcomd 2611 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
22 oveq1 6530 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
23 itgeq1 23258 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
25 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
26 iooid 12026 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐵) = ∅
2725, 26syl6eq 2655 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
28 itgeq1 23258 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫∅𝐷 d𝑥)
30 itg0 23265 . . . . . . 7 ∫∅𝐷 d𝑥 = 0
3129, 30syl6eq 2655 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = 0)
3231oveq1d 6538 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
3324, 32eqeq12d 2620 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) ↔ ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (0 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3421, 33syl5ibrcom 235 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
3511, 34syld 45 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
366simp3d 1067 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
378, 3leloed 10027 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3836, 37mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
3938ord 390 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶))
403rexrd 9941 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
41 iooss2 12034 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4240, 36, 41syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
4342sselda 3563 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
4443, 16syldan 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
4644, 45itgcl 23269 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
4746addid1d 10083 . . . . 5 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
4847eqcomd 2611 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0))
49 oveq2 6531 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶))
50 itgeq1 23258 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
52 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐶))
5326, 52syl5eqr 2653 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ∅ = (𝐵(,)𝐶))
54 itgeq1 23258 . . . . . . . 8 (∅ = (𝐵(,)𝐶) → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ∫∅𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5630, 55syl5eqr 2653 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → 0 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5756oveq2d 6539 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
5851, 57eqeq12d 2620 . . . 4 (𝐵 = 𝐶 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + 0) ↔ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
5948, 58syl5ibcom 233 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
6039, 59syld 45 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 𝐶 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
61 indir 3829 . . . . . . . 8 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)))
628rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6312, 62jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6463adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6562, 40jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
6665adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
678adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6867leidd 10439 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵𝐵)
69 ioodisj 12125 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7064, 66, 68, 69syl21anc 1316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
71 incom 3762 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵})
7267ltnrd 10018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
73 eliooord 12056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐵𝐵 < 𝐶))
7473simpld 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐵 < 𝐵)
7572, 74nsyl 133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
76 disjsn 4187 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7775, 76sylibr 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐵(,)𝐶) ∩ {𝐵}) = ∅)
7871, 77syl5eq 2651 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
7970, 78uneq12d 3725 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (∅ ∪ ∅))
80 un0 3914 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ ∅) = ∅
8179, 80syl6eq 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) ∪ ({𝐵} ∩ (𝐵(,)𝐶))) = ∅)
8261, 81syl5eq 2651 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
8382fveq2d 6088 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = (vol*‘∅))
84 ovol0 22981 . . . . . 6 (vol*‘∅) = 0
8583, 84syl6eq 2655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∩ (𝐵(,)𝐶))) = 0)
8612, 62, 403jca 1234 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
87 ioojoin 12126 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8886, 87sylan 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8988eqcomd 2611 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐶) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)))
9016adantlr 746 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
9145adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
92 ssun1 3733 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})
9392a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
94 ioossre 12058 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9594a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9667snssd 4276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
9795, 96unssd 3746 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
98 uncom 3714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
9998difeq1i 3681 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵))
100 difun2 3995 . . . . . . . . . . . 12 (({𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
10199, 100eqtri 2627 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
102 difss 3694 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
103101, 102eqsstri 3593 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵}
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵})
105 ovolsn 22983 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
10667, 105syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘{𝐵}) = 0)
107 ovolssnul 22975 . . . . . . . . 9 (((((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐵}) = 0) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
108104, 96, 106, 107syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (vol*‘(((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
109 ssun1 3733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶))
110109, 88syl5sseq 3611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
111110sselda 3563 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶))
112111, 90syldan 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
11393, 97, 108, 112itgss3 23300 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥))
114113simpld 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1))
11591, 114mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11618adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
11785, 89, 90, 115, 116itgsplit 23321 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
118113simprd 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥)
119118oveq1d 6538 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = (∫((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
120117, 119eqtr4d 2642 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
121120ex 448 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)))
12235, 60, 121ecased 981 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cdif 3532  cun 3533  cin 3534  wss 3535  c0 3869  {csn 4120   class class class wbr 4573  cmpt 4633  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788   + caddc 9791  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  (,)cioo 11998  [,]cicc 12001  vol*covol 22951  𝐿1cibl 23105  citg 23106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-ofr 6769  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-rest 15848  df-topgen 15869  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-cmp 20938  df-ovol 22953  df-vol 22954  df-mbf 23107  df-itg1 23108  df-itg2 23109  df-ibl 23110  df-itg 23111  df-0p 23156
This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  23343  ftc1lem1  23515  ftc1anc  32462  fourierdlem103  38902  fourierdlem104  38903  fourierdlem111  38910  sqwvfoura  38921  sqwvfourb  38922
  Copyright terms: Public domain W3C validator