MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcorev2 22736
Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev2.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev2.2 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
Assertion
Ref Expression
pcorev2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorev2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev2.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
21pcorevcl 22733 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
32simp1d 1071 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4 eqid 2621 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))
5 eqid 2621 . . . 4 ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
64, 5pcorev 22735 . . 3 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
73, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
8 iiuni 22592 . . . . . 6 (0[,]1) = II
9 eqid 2621 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
108, 9cnf 20960 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
1110feqmptd 6206 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦)))
12 iirev 22636 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ (0[,]1))
13 oveq2 6612 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 − 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑦)))
1413fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 − 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
15 fvex 6158 . . . . . . . 8 (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) ∈ V
1614, 1, 15fvmpt 6239 . . . . . . 7 ((1 − 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
18 ax-1cn 9938 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
19 unitssre 12261 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
2019sseli 3579 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
2120recnd 10012 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
22 nncan 10254 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
2318, 21, 22sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
2423fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) = (𝐹𝑦))
2517, 24eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹𝑦))
2625mpteq2ia 4700 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦))
2711, 26syl6reqr 2674 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = 𝐹)
2827oveq1d 6619 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺))
292simp3d 1073 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
3029sneqd 4160 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → {(𝐺‘1)} = {(𝐹‘0)})
3130xpeq2d 5099 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
32 pcorev2.2 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
3331, 32syl6eqr 2673 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = 𝑃)
347, 28, 333brtr3d 4644 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148   cuni 4402   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  cmin 10210  [,]cicc 12120   Cn ccn 20938  IIcii 22586  phcphtpc 22676  *𝑝cpco 22708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-ii 22588  df-htpy 22677  df-phtpy 22678  df-phtpc 22699  df-pco 22713
This theorem is referenced by:  pcophtb  22737  pi1xfr  22763  pi1xfrcnvlem  22764
  Copyright terms: Public domain W3C validator