MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnvlem 22764
Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem (𝜑𝐺𝐻)
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,,𝑥   𝑔,𝐼,,𝑥   ,𝐺   𝜑,𝑔,,𝑥   𝑔,𝐽,,𝑥   𝑃,𝑔,,𝑥   𝑄,𝑔,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,)   𝑋(𝑥,𝑔,)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
2 fvex 6158 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) ∈ V
3 ecexg 7691 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
5 ecexg 7691 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
62, 5mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
71, 4, 6fliftcnv 6515 . . 3 (𝜑𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
109pcorevcl 22733 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
1211simp1d 1071 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 iitopon 22590 . . . . . . . . . . . . . . 15 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
18 cnf2 20963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
1917, 15, 8, 18syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
20 0elunit 12232 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0[,]1)
21 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
2219, 20, 21sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
23 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑃)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
2514, 15, 22, 24pi1eluni 22750 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
2625biimpa 501 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
2726simp1d 1071 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
288adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2926simp3d 1073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
3027, 28, 29pcocn 22725 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3111simp3d 1073 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3326simp2d 1072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
3432, 33eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝑔‘0))
3527, 28pco0 22722 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
3634, 35eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
3713, 30, 36pcocn 22725 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3813, 30pco0 22722 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
3911simp2d 1072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
4138, 40eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
4213, 30pco1 22723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
4327, 28pco1 22723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4442, 43eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
45 pi1xfr.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
46 1elunit 12233 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
47 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
4819, 46, 47sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
49 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
5045, 15, 48, 49pi1eluni 22750 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
5150adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
5237, 41, 44, 51mpbir3and 1243 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
53 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))) = (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))))
54 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
55 eceq1 7727 . . . . . . 7 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → []( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
56 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → ((*𝑝𝐽)𝐼) = ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))
5756oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → (𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)) = (𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)))
5857eceq1d 7728 . . . . . . 7 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽))
5955, 58opeq12d 4378 . . . . . 6 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
6052, 53, 54, 59fmptco 6351 . . . . 5 (𝜑 → (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
61 phtpcer 22702 . . . . . . . . 9 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
6313, 27pco0 22722 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)‘0) = (𝐼‘0))
6463, 40eqtr2d 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)‘0))
6562, 28erref 7707 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
6662, 13erref 7707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
67 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
6867pcopt2 22731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)𝑔)
6927, 29, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)𝑔)
7040eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
71 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
7227, 28, 13, 29, 70, 71pcoass 22732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)))
7328, 13pco0 22722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘0) = (𝐹‘0))
7429, 73eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘0))
7562, 27erref 7707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔( ≃ph𝐽)𝑔)
769, 67pcorev2 22736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
7728, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
7874, 75, 77pcohtpy 22728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)𝐼))( ≃ph𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)})))
7962, 72, 78ertr2d 7704 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼))
8062, 69, 79ertr3d 7705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔( ≃ph𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼))
8134, 66, 80pcohtpy 22728 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)))
8243, 40eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐼‘0))
8313, 30, 13, 36, 82, 71pcoass 22732 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)))
8462, 81, 83ertr4d 7706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))
8564, 65, 84pcohtpy 22728 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)))
8628, 13, 27, 70, 34, 71pcoass 22732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)))
8728, 13pco1 22723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝐼‘1))
8887, 34eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝑔‘0))
8988, 77, 75pcohtpy 22728 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔))
9067pcopt 22730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9127, 33, 90syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9262, 89, 91ertrd 7703 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9362, 86, 92ertr3d 7705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔))( ≃ph𝐽)𝑔)
9462, 85, 93ertr3d 7705 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))( ≃ph𝐽)𝑔)
9562, 94erthi 7738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [𝑔]( ≃ph𝐽))
9695opeq2d 4377 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩)
9796mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
9860, 97eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
9998rneqd 5313 . . 3 (𝜑 → ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
1007, 99eqtr4d 2658 . 2 (𝜑𝐺 = ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))))
101 rncoss 5346 . . 3 ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) ⊆ ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
102 pi1xfrcnv.h . . 3 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
103101, 102sseqtr4i 3617 . 2 ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) ⊆ 𝐻
104100, 103syl6eqss 3634 1 (𝜑𝐺𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148  cop 4154   cuni 4402   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  ccnv 5073  ran crn 5075  ccom 5078  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604   Er wer 7684  [cec 7685  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  4c4 11016  [,]cicc 12120  Basecbs 15781  TopOnctopon 20618   Cn ccn 20938  IIcii 22586  phcphtpc 22676  *𝑝cpco 22708   π1 cpi1 22711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-qus 16090  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-ii 22588  df-htpy 22677  df-phtpy 22678  df-phtpc 22699  df-pco 22713  df-om1 22714  df-pi1 22716
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  22765
  Copyright terms: Public domain W3C validator