MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pige3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pige3 23987
Description: π is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter . We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3 3 ≤ π

Proof of Theorem pige3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 10939 . . 3 3 ∈ ℂ
21mulid2i 9896 . 2 (1 · 3) = 3
3 tru 1478 . . . . . 6
4 0xr 9939 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
5 pirp 23931 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
6 3re 10938 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
7 3pos 10958 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
86, 7elrpii 11664 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 11685 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
105, 8, 9mp2an 703 . . . . . . . . 9 (π / 3) ∈ ℝ+
11 rpxr 11669 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ*
13 rpge0 11674 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≤ (π / 3)
15 lbicc2 12112 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
164, 12, 14, 15mp3an 1415 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,](π / 3))
17 ubicc2 12113 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
184, 12, 14, 17mp3an 1415 . . . . . . 7 (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
1916, 18pm3.2i 469 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
20 0re 9893 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
22 pire 23928 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
23 3ne0 10959 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2422, 6, 23redivcli 10638 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
26 efcn 23915 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
28 iccssre 12079 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
2920, 24, 28mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
30 ax-resscn 9846 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 3573 . . . . . . . . . 10 (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
32 resmpt 5353 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
34 ssid 3583 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
36 ax-icn 9848 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ ℂ
37 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
38 mulcl 9873 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
40 eqid 2606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))
4139, 40fmptd 6274 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
42 cnelprrecn 9882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
44 ax-1cn 9847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4643dvmptid 23440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
4736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → i ∈ ℂ)
4843, 37, 45, 46, 47dvmptcmul 23447 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
4936mulid1i 9895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i · 1) = i
5049mpteq2i 4660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5148, 50syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
5251dmeqd 5232 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
5336elexi 3182 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ V
54 eqid 2606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5553, 54dmmpti 5919 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
5652, 55syl6eq 2656 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
57 dvcn 23404 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5835, 41, 35, 56, 57syl31anc 1320 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
59 rescncf 22436 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
6031, 58, 59mpsyl 65 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
6133, 60eqeltrrd 2685 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
6227, 61cncfmpt1f 22452 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
63 reelprrecn 9881 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
65 recn 9879 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
66 efcl 14595 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6739, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6865, 67sylan2 489 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
69 mulcl 9873 . . . . . . . . . . . 12 (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
7067, 36, 69sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
7165, 70sylan2 489 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
72 eqid 2606 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7372cnfldtopon 22325 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
74 toponmax 20482 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7630a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
77 df-ss 3550 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7876, 77sylib 206 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7936a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
80 efcl 14595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
8180adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
82 dvef 23461 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
83 eff 14594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 exp:ℂ⟶ℂ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
8584feqmptd 6141 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
8685oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
8782, 86, 853eqtr3a 2664 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
88 fveq2 6085 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
8943, 43, 39, 79, 81, 81, 51, 87, 88, 88dvmptco 23455 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9072, 64, 75, 78, 67, 70, 89dvmptres3 23439 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
9272tgioo2 22343 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
93 iccntr 22361 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9420, 25, 93sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9564, 68, 71, 90, 91, 92, 72, 94dvmptres2 23445 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9695dmeqd 5232 . . . . . . . 8 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
97 ovex 6552 . . . . . . . . 9 ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
98 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
9997, 98dmmpti 5919 . . . . . . . 8 dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
10096, 99syl6eq 2656 . . . . . . 7 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
101 1re 9892 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10395fveq1d 6087 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
104 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
105104fveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
106105oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
107106, 98, 97fvmpt3i 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
108103, 107sylan9eq 2660 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
109108fveq2d 6089 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
110 ioossre 12059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
112111sselda 3564 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
113112recnd 9921 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
114 mulcl 9873 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
11536, 113, 114sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
116 efcl 14595 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
118 absmul 13825 . . . . . . . . . 10 (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
119117, 36, 118sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
120 absefi 14708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
122 absi 13817 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘i) = 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
124121, 123oveq12d 6542 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
12544mulid1i 9895 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
126124, 125syl6eq 2656 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
127109, 119, 1263eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
128 1le1 10501 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
129127, 128syl6eqbr 4613 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
13021, 25, 62, 100, 102, 129dvlip 23474 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
1313, 19, 130mp2an 703 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
132 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
133 it0e0 11098 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 0) = 0
134132, 133syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
135134fveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
136 ef0 14603 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
137135, 136syl6eq 2656 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
138 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
139 fvex 6095 . . . . . . . . . 10 (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
140137, 138, 139fvmpt3i 6178 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
14116, 140ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
142 oveq2 6532 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
143142fveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
144143, 138, 139fvmpt3i 6178 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
14518, 144ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
146141, 145oveq12i 6536 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
14724recni 9905 . . . . . . . . . 10 (π / 3) ∈ ℂ
14836, 147mulcli 9898 . . . . . . . . 9 (i · (π / 3)) ∈ ℂ
149 efcl 14595 . . . . . . . . 9 ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
151 negicn 10130 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
152151, 147mulcli 9898 . . . . . . . . 9 (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
153 efcl 14595 . . . . . . . . 9 ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
154152, 153ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
155 cosval 14635 . . . . . . . . . . 11 ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
156147, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
157 sincos3rdpi 23986 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
158157simpri 476 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
159156, 158eqtr3i 2630 . . . . . . . . 9 (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
160150, 154addcli 9897 . . . . . . . . . 10 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
161 2cn 10935 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
162 2ne0 10957 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
163160, 44, 161, 162div11i 10630 . . . . . . . . 9 ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
164159, 163mpbi 218 . . . . . . . 8 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
16544, 150, 154, 164subaddrii 10218 . . . . . . 7 (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
166 mulneg12 10316 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
16736, 147, 166mp2an 703 . . . . . . . 8 (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
168167fveq2i 6088 . . . . . . 7 (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
169146, 165, 1683eqtri 2632 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
170169fveq2i 6088 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
171147absnegi 13930 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
172 df-neg 10117 . . . . . . . . 9 -(π / 3) = (0 − (π / 3))
173172fveq2i 6088 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
174171, 173eqtr3i 2630 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
175 rprege0 11676 . . . . . . . 8 ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
176 absid 13827 . . . . . . . 8 (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
17710, 175, 176mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
178174, 177eqtr3i 2630 . . . . . 6 (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
179178oveq2i 6535 . . . . 5 (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
180131, 170, 1793brtr3i 4603 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
18124renegcli 10190 . . . . 5 -(π / 3) ∈ ℝ
182 absefi 14708 . . . . 5 (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
183181, 182ax-mp 5 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
184147mulid2i 9896 . . . 4 (1 · (π / 3)) = (π / 3)
185180, 183, 1843brtr3i 4603 . . 3 1 ≤ (π / 3)
1866, 7pm3.2i 469 . . . 4 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
187 lemuldiv 10749 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
188101, 22, 186, 187mp3an 1415 . . 3 ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
189185, 188mpbir 219 . 2 (1 · 3) ≤ π
1902, 189eqbrtrri 4597 1 3 ≤ π
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  cin 3535  wss 3536  {cpr 4123   class class class wbr 4574  cmpt 4634  dom cdm 5025  ran crn 5026  cres 5027  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790  ici 9791   + caddc 9792   · cmul 9794  *cxr 9926   < clt 9927  cle 9928  cmin 10114  -cneg 10115   / cdiv 10530  2c2 10914  3c3 10915  +crp 11661  (,)cioo 11999  [,]cicc 12002  csqrt 13764  abscabs 13765  expce 14574  sincsin 14576  cosccos 14577  πcpi 14579  TopOpenctopn 15848  topGenctg 15864  fldccnfld 19510  TopOnctopon 20457  intcnt 20570  cnccncf 22415   D cdv 23347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-sin 14582  df-cos 14583  df-pi 14585  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-cmp 20939  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator