MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pire 24409
Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 24406 . . 3 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
21simpli 476 . 2 π ∈ (2(,)4)
3 elioore 12398 . 2 (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 1 π ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  2c2 11262  4c4 11264  (,)cioo 12368  sincsin 14993  πcpi 14996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  picn  24410  pipos  24411  pirp  24412  sinhalfpilem  24414  halfpire  24415  sincosq1lem  24448  sincosq2sgn  24450  sincosq3sgn  24451  sincosq4sgn  24452  coseq00topi  24453  coseq0negpitopi  24454  tangtx  24456  sinq12gt0  24458  sinq12ge0  24459  sinq34lt0t  24460  cosq14gt0  24461  cosq14ge0  24462  sincos4thpi  24464  tan4thpi  24465  sincos6thpi  24466  pige3  24468  coskpi  24471  sineq0  24472  coseq1  24473  efeq1  24474  cosne0  24475  cosordlem  24476  cosord  24477  cos11  24478  sinord  24479  recosf1o  24480  resinf1o  24481  tanord1  24482  negpitopissre  24485  efif1olem1  24487  efif1olem2  24488  efif1olem4  24490  efif1o  24491  efifo  24492  eff1o  24494  ellogrn  24505  relogrn  24507  logimclad  24518  abslogimle  24519  logneg  24533  lognegb  24535  eflogeq  24547  logcj  24551  argregt0  24555  argrege0  24556  argimgt0  24557  argimlt0  24558  logimul  24559  logneg2  24560  abslogle  24563  logcnlem3  24589  dvloglem  24593  logf1o2  24595  efopnlem1  24601  efopnlem2  24602  cxpsqrtlem  24647  abscxpbnd  24693  root1eq1  24695  logreclem  24699  ang180lem1  24738  ang180lem2  24739  ang180lem3  24740  ang180lem4  24741  isosctrlem1  24747  1cubrlem  24767  asinneg  24812  asinsin  24818  asin1  24820  acosbnd  24826  atanlogaddlem  24839  atanlogsublem  24841  atanlogsub  24842  atantan  24849  atanbndlem  24851  atan1  24854  o1cxp  24900  lgamgulmlem4  24957  lgamgulmlem5  24958  lgamgulmlem6  24959  lgambdd  24962  basellem1  25006  basellem4  25009  basellem8  25013  basellem9  25014  circum  31875  logi  31927  bj-pinftyccb  33419  bj-minftyccb  33423  bj-pinftynminfty  33425  taupi  33480  sin2h  33712  cos2h  33713  tan2h  33714  pigt3  33715  proot1ex  38281  isosctrlem1ALT  39669  sineq0ALT  39672  negpilt0  39991  coseq0  40578  sinaover2ne0  40582  itgsin0pilem1  40668  itgsinexplem1  40672  itgsinexp  40673  wallispilem1  40785  wallispilem2  40786  wallispi  40790  stirlinglem15  40808  stirlingr  40810  dirker2re  40812  dirkerval2  40814  dirkerre  40815  dirkerper  40816  dirkertrigeqlem2  40819  dirkertrigeqlem3  40820  dirkertrigeq  40821  dirkeritg  40822  dirkercncflem1  40823  dirkercncflem2  40824  dirkercncflem4  40826  fourierdlem5  40832  fourierdlem9  40836  fourierdlem16  40843  fourierdlem18  40845  fourierdlem21  40848  fourierdlem22  40849  fourierdlem24  40851  fourierdlem38  40865  fourierdlem40  40867  fourierdlem43  40870  fourierdlem44  40871  fourierdlem46  40872  fourierdlem50  40876  fourierdlem58  40884  fourierdlem62  40888  fourierdlem66  40892  fourierdlem72  40898  fourierdlem74  40900  fourierdlem75  40901  fourierdlem76  40902  fourierdlem77  40903  fourierdlem78  40904  fourierdlem83  40909  fourierdlem85  40911  fourierdlem87  40913  fourierdlem88  40914  fourierdlem93  40919  fourierdlem94  40920  fourierdlem95  40921  fourierdlem101  40927  fourierdlem102  40928  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fourierdlem111  40937  fourierdlem112  40938  fourierdlem113  40939  fourierdlem114  40940  sqwvfoura  40948  sqwvfourb  40949  fourierswlem  40950  fouriersw  40951  fouriercn  40952
  Copyright terms: Public domain W3C validator