Theorem pire 25044

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 25041	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 486	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 12769	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  2c2 11693  4c4 11695  (,)cioo 12739  sincsin 15417  πcpi 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465

This theorem is referenced by:  picn  25045  pipos  25046  pirp  25047  sinhalfpilem  25049  halfpire  25050  sincosq1lem  25083  sincosq2sgn  25085  sincosq3sgn  25086  sincosq4sgn  25087  coseq00topi  25088  coseq0negpitopi  25089  tangtx  25091  sinq12gt0  25093  sinq12ge0  25094  sinq34lt0t  25095  cosq14gt0  25096  cosq14ge0  25097  sincos4thpi  25099  tan4thpi  25100  sincos6thpi  25101  pigt3  25103  pige3  25104  pige3ALT  25105  coskpi  25108  sineq0  25109  coseq1  25110  cos02pilt1  25111  cosq34lt1  25112  efeq1  25113  cosne0  25114  cosordlem  25115  cosord  25116  cos11  25117  sinord  25118  recosf1o  25119  resinf1o  25120  tanord1  25121  negpitopissre  25124  efif1olem1  25126  efif1olem2  25127  efif1olem4  25129  efif1o  25130  efifo  25131  eff1o  25133  ellogrn  25143  relogrn  25145  logimclad  25156  abslogimle  25157  logneg  25171  lognegb  25173  eflogeq  25185  logcj  25189  argregt0  25193  argrege0  25194  argimgt0  25195  argimlt0  25196  logimul  25197  logneg2  25198  abslogle  25201  logcnlem3  25227  dvloglem  25231  logf1o2  25233  efopnlem1  25239  efopnlem2  25240  cxpsqrtlem  25285  abscxpbnd  25334  root1eq1  25336  logreclem  25340  ang180lem1  25387  ang180lem2  25388  ang180lem3  25389  ang180lem4  25390  isosctrlem1  25396  1cubrlem  25419  asinneg  25464  asinsin  25470  asin1  25472  acosbnd  25478  atanlogaddlem  25491  atanlogsublem  25493  atanlogsub  25494  atantan  25501  atanbndlem  25503  atan1  25506  o1cxp  25552  lgamgulmlem4  25609  lgamgulmlem5  25610  lgamgulmlem6  25611  lgambdd  25614  basellem1  25658  basellem4  25661  basellem8  25665  basellem9  25666  circum  32917  logi  32966  bj-pinftyccb  34506  bj-minftyccb  34510  bj-pinftynminfty  34512  taupi  34607  sin2h  34897  cos2h  34898  tan2h  34899  proot1ex  39850  isosctrlem1ALT  41317  sineq0ALT  41320  negpilt0  41595  coseq0  42194  sinaover2ne0  42198  itgsin0pilem1  42284  itgsinexplem1  42288  itgsinexp  42289  wallispilem1  42399  wallispilem2  42400  wallispi  42404  stirlinglem15  42422  stirlingr  42424  dirker2re  42426  dirkerval2  42428  dirkerre  42429  dirkerper  42430  dirkertrigeqlem2  42433  dirkertrigeqlem3  42434  dirkertrigeq  42435  dirkeritg  42436  dirkercncflem1  42437  dirkercncflem2  42438  dirkercncflem4  42440  fourierdlem5  42446  fourierdlem9  42450  fourierdlem16  42457  fourierdlem18  42459  fourierdlem21  42462  fourierdlem22  42463  fourierdlem24  42465  fourierdlem38  42479  fourierdlem40  42481  fourierdlem43  42484  fourierdlem44  42485  fourierdlem46  42486  fourierdlem50  42490  fourierdlem58  42498  fourierdlem62  42502  fourierdlem66  42506  fourierdlem72  42512  fourierdlem74  42514  fourierdlem75  42515  fourierdlem76  42516  fourierdlem77  42517  fourierdlem78  42518  fourierdlem83  42523  fourierdlem85  42525  fourierdlem87  42527  fourierdlem88  42528  fourierdlem93  42533  fourierdlem94  42534  fourierdlem95  42535  fourierdlem101  42541  fourierdlem102  42542  fourierdlem103  42543  fourierdlem104  42544  fourierdlem111  42551  fourierdlem112  42552  fourierdlem113  42553  fourierdlem114  42554  sqwvfoura  42562  sqwvfourb  42563  fourierswlem  42564  fouriersw  42565  fouriercn  42566