Theorem chebbnd1lem3 26047

Description: Lemma for chebbnd1 26048: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12395	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		relogcl 25159	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
4		1re 10641	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		2re 11712	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		ere 15442	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 10657	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
8		2pos 11741	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		epos 15560	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < e
10	5, 6, 8, 9	mulgt0ii 10773	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · e)
11	7, 10	gt0ne0ii 11176	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ≠ 0
12	4, 7, 11	redivcli 11407	. . . . 5 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
13	3, 12	resubcli 10948	. . . 4 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14		2ne0 11742	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 5, 14	redivcli 11407	. . 3 ⊢ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
17	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18		8re 11734	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		2lt8 11835	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 8
22	5, 18, 21	ltleii 10763	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
25	17, 19, 20, 23, 24	letrd 10797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26		ppinncl 25751	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
27	25, 26	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnred 11653	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℝ)
29		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30		rehalfcl 11864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
31	30	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
32	31	flcld 13169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
33	29, 32	eqeltrid 2917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	33	zred 12088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35		remulcl 10622	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
36	5, 34, 35	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
37	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38		1lt2 11809	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40		2t1e2 11801	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
41		4nn 11721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ
42		4z 12017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44		4t2e8 11806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 · 2) = 8
45	44, 24	eqbrtrid 5101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46		4re 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
48	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49		lemuldiv 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
50	47, 20, 17, 48, 49	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
51	45, 50	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52		flge 13176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
53	31, 42, 52	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
54	51, 53	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
55	54, 29	breqtrrdi 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56		eluz2 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
57	43, 33, 55, 56	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4))
58		eluznn 12319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
59	41, 57, 58	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
60	59	nnge1d 11686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61		lemul2 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
62	37, 34, 17, 48, 61	syl112anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
63	60, 62	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
64	40, 63	eqbrtrrid 5102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
65	37, 17, 36, 39, 64	ltletrd 10800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
66	36, 65	rplogcld 25212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
67	66	rpred 12432	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68		2nn 11711	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		nnmulcl 11662	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
70	68, 59, 69	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
71	67, 70	nndivred 11692	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
72	28, 71	remulcld 10671	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73		rehalfcl 11864	. . 3 ⊢ (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
74	72, 73	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75		0red 10644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76		8pos 11750	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
78	75, 19, 20, 77, 24	ltletrd 10800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
79	20, 78	elrpd 12429	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80	79	relogcld 25206	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
81	80, 79	rerpdivcld 12463	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
82	28, 81	remulcld 10671	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
83	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84		ppinncl 25751	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
85	36, 64, 84	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
86	85	nnred 11653	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
87	86, 71	remulcld 10671	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88		remulcl 10622	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
89	13, 36, 88	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90		4pos 11745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
91	46, 90	elrpii 12393	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
92		rpexpcl 13449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
93	91, 33, 92	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
94	59	nnrpd 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
95	93, 94	rpdivcld 12449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ+)
96	95	relogcld 25206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
97	86, 67	remulcld 10671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
98	94	relogcld 25206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99		epr 15561	. . . . . . . . . 10 ⊢ e ∈ ℝ+
100		rerpdivcl 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
101	34, 99, 100	sylancl 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
102	93	relogcld 25206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
103	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104		egt2lt3 15559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
105	104	simpri 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e < 3
106		3lt4 11812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 < 4
107		3re 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
108	6, 107, 46	lttri 10766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109	105, 106, 108	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e < 4
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111	103, 47, 34, 110, 55	ltletrd 10800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112	103, 34, 111	ltled 10788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
113	6	leidi 11174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≤ e
114		logdivlt 25204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
115	6, 113, 114	mpanl12 700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
116	34, 112, 115	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117	111, 116	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118		loge 25170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (log‘e) = 1
119	118	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘e) / e) = (1 / e)
120	117, 119	breqtrdi 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
121	6, 9	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
123	59	nngt0d 11687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
124	34, 123	jca 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125		lt2mul2div 11518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
126	98, 122, 37, 124, 125	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127	120, 126	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
128	34	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129	128	mulid2d 10659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130	127, 129	breqtrd 5092	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131		ltmuldiv 11513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
132	98, 34, 122, 131	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133	130, 132	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
134	98, 101, 102, 133	ltsub2dd 11253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
135	3	recni 10655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
137	12	recni 10655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
139	70	nnrpd 12430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
140	139	rpcnd 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141	136, 138, 140	subdird 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142	136, 140	mulcomd 10662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143		2z 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
144		zmulcl 12032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145	143, 33, 144	sylancr 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146		relogexp 25179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
147	1, 145, 146	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148		2cnd 11716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
149	59	nnnn0d 11956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
150		2nn0 11915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
152	148, 149, 151	expmuld 13514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153		sq2 13561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2↑2) = 4
154	153	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155	152, 154	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156	155	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157	142, 147, 156	3eqtr2d 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
158	7	recni 10655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · e) ∈ ℂ
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
160	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161	140, 159, 160	divrec2d 11420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
162	6	recni 10655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℂ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
164	6, 9	gt0ne0ii 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ≠ 0
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
166	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167	128, 163, 148, 165, 166	divcan5d 11442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168	161, 167	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169	157, 168	oveq12d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170	141, 169	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
171	93, 94	relogdivd 25209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172	134, 170, 171	3brtr4d 5098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174	173	chebbnd1lem1 26045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
175	57, 174	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
176	89, 96, 97, 172, 175	lttrd 10801	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
177	83, 97, 139	ltmuldivd 12479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178	176, 177	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
179	86	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
180	66	rpcnd 12434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181	139	rpcnne0d 12441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182		divass 11316	. . . . . 6 ⊢ (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183	179, 180, 181, 182	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184	178, 183	breqtrd 5092	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185		flle 13170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
186	31, 185	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
187	29, 186	eqbrtrid 5101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188		lemuldiv2 11521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
189	34, 20, 17, 48, 188	syl112anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190	187, 189	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191		ppiwordi 25739	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
192	36, 20, 190, 191	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
193	66, 139	rpdivcld 12449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
194	86, 28, 193	lemul1d 12475	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195	192, 194	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
196	83, 87, 72, 184, 195	ltletrd 10800	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197		ltdiv1 11504	. . . 4 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
198	83, 72, 17, 48, 197	syl112anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199	196, 198	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
200	29	chebbnd1lem2 26046	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201		remulcl 10622	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
202	5, 81, 201	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
203	27	nngt0d 11687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π‘𝑁))
204		ltmul2 11491	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
205	71, 202, 28, 203, 204	syl112anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206	200, 205	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
207	28	recnd 10669	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℂ)
208	81	recnd 10669	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209	207, 148, 208	mul12d 10849	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210	206, 209	breqtrd 5092	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211		ltdivmul 11515	. . . 4 ⊢ ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
212	72, 82, 17, 48, 211	syl112anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213	210, 212	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
214	16, 74, 82, 199, 213	lttrd 10801	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ifcif 4467   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  8c8 11699  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ℝ⁺crp 12390  ⌊cfl 13161  ↑cexp 13430  Ccbc 13663  eceu 15416  logclog 25138  πcppi 25671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-e 15422  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-pc 16174  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140  df-ppi 25677

This theorem is referenced by:  chebbnd1  26048