Theorem prodsplit 39171

Description: Product split into two factors, original by Steven Nguyen. (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
prodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
prodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
prodsplit.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
prodsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
prodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem prodsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	ltp1d 11556	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
4		fzdisj 12924	. . 3 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
6		prodsplit.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		prodsplit.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12072	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	1, 8	zaddcld 12078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
10		prodsplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
11		nn0addge1 11930	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
12	2, 7, 11	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
13		elfz4 12891	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)))
14	6, 9, 1, 10, 12, 13	syl32anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)))
15		fzsplit 12923	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
17		fzfid 13331	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) ∈ Fin)
18		prodsplit.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	5, 16, 17, 18	fprodsplit 15305	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3922   ∩ cin 3923  ∅c0 4279   class class class wbr 5052  (class class class)co 7142  ℂcc 10521  ℝcr 10522  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528   < clt 10661   ≤ cle 10662  ℕ₀cn0 11884  ℤcz 11968  ...cfz 12882  ∏cprod 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-clim 14830  df-prod 15245

This theorem is referenced by: (None)