Theorem signsvfpn 31855

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfpn	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfpn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4		signsvf.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
5	4	eldifad 3948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
6		wrdf 13867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
8		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
9	8	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
10		eldifsn 4719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11	4, 10	sylib 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
12		lennncl 13884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
13		fzo0end 13130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
15	9, 14	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
16	7, 15	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
18	3, 17	eqeltrid 2917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcomd 10662	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
20	19	breq2d 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐵 · 𝐴)))
21	3, 16	eqeltrid 2917	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22		sgnmulsgp 31808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
23	1, 21, 22	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
24	20, 23	bitr3d 283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 · 𝐴) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
25	24	biimpa 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
26	4	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
27	18	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	2	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
30	29	gt0ne0d 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
31	27, 28, 30	mulne0bad 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
32	3, 31	eqnetrrid 3091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
33		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
34		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
35		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
36		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
37	33, 34, 35, 36, 8	signsvtn0 31840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
38	3	fveq2i 6673	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
39	37, 38	syl6eqr 2874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
40	26, 32, 39	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
41	40	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
42	21	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 10691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		sgnsgn 31806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
46	41, 45	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
47	46	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
48	25, 47	breqtrrd 5094	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))))
49	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 31797	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	42, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	40, 51	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgp 31808	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
54	49, 52, 53	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
55	48, 54	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2821	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	33, 34, 35, 36, 4, 56, 57, 1, 8, 58	signsvtp 31853	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))
60	55, 59	syldan 593	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933  ∅c0 4291  ifcif 4467  {csn 4567  {cpr 4569  {ctp 4571  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   − cmin 10870  -cneg 10871  ℕcn 11638  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   ++ cconcat 13922  ⟨“cs1 13949  sgncsgn 14445  Σcsu 15042  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565   Σ_g cgsu 16714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-word 13863  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-sgn 14446  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mulg 18225  df-cntz 18447

This theorem is referenced by: (None)