Theorem sincos3rdpi 25100

Description: The sine and cosine of π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sincos3rdpi	⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Proof of Theorem sincos3rdpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 25043	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 11710	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 11739	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
4	2, 3	reccli 11367	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5		3cn 11716	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ne0 11741	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
7	5, 6	reccli 11367	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
8	1, 4, 7	subdii 11086	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
9		halfthird 12239	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
10	9	oveq2i 7164	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
11	8, 10	eqtr3i 2845	. . . . 5 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
12	1, 2, 3	divreci 11382	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
13	1, 5, 6	divreci 11382	. . . . . 6 ⊢ (π / 3) = (π · (1 / 3))
14	12, 13	oveq12i 7165	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
15		6cn 11726	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		6nn 11724	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	16	nnne0i 11675	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
18	1, 15, 17	divreci 11382	. . . . 5 ⊢ (π / 6) = (π · (1 / 6))
19	11, 14, 18	3eqtr4i 2853	. . . 4 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = (π / 6)
20	19	fveq2i 6670	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 6))
21	1, 5, 6	divcli 11379	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
22		coshalfpim 25079	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3))
24		sincos6thpi 25099	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
25	24	simpri 488	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
26	20, 23, 25	3eqtr3i 2851	. 2 ⊢ (sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2)
27	19	fveq2i 6670	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 6))
28		sinhalfpim 25077	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3)))
29	21, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3))
30	24	simpli 486	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
31	27, 29, 30	3eqtr3i 2851	. 2 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
32	26, 31	pm3.2i 473	1 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  ℂcc 10532  1c1 10535   · cmul 10539   − cmin 10867   / cdiv 11294  2c2 11690  3c3 11691  6c6 11694  √csqrt 14588  sincsin 15413  cosccos 15414  πcpi 15416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-inf2 9101  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611  ax-pre-sup 10612  ax-addf 10613  ax-mulf 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-of 7406  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-div 11295  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-9 11705  df-n0 11896  df-z 11980  df-dec 12097  df-uz 12242  df-q 12347  df-rp 12388  df-xneg 12505  df-xadd 12506  df-xmul 12507  df-ioo 12740  df-ioc 12741  df-ico 12742  df-icc 12743  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13428  df-fac 13632  df-bc 13661  df-hash 13689  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-fbas 20538  df-fg 20539  df-cnfld 20542  df-top 21498  df-topon 21515  df-topsp 21537  df-bases 21550  df-cld 21623  df-ntr 21624  df-cls 21625  df-nei 21702  df-lp 21740  df-perf 21741  df-cn 21831  df-cnp 21832  df-haus 21919  df-tx 22166  df-hmeo 22359  df-fil 22450  df-fm 22542  df-flim 22543  df-flf 22544  df-xms 22926  df-ms 22927  df-tms 22928  df-cncf 23482  df-limc 24462  df-dv 24463

This theorem is referenced by:  pige3ALT  25103