MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos6thpi 24466
Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 11283 . . 3 2 ∈ ℂ
2 pire 24409 . . . . . 6 π ∈ ℝ
3 6re 11293 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
4 6pos 11311 . . . . . . 7 0 < 6
53, 4gt0ne0ii 10756 . . . . . 6 6 ≠ 0
62, 3, 5redivcli 10984 . . . . 5 (π / 6) ∈ ℝ
76recni 10244 . . . 4 (π / 6) ∈ ℂ
8 sincl 15055 . . . 4 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10 2ne0 11305 . . 3 2 ≠ 0
11 recoscl 15070 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1312recni 10244 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
141, 9, 13mulassi 10241 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15 sin2t 15106 . . . . . . . 8 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
1714, 16eqtr4i 2785 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18 3cn 11287 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
19 3ne0 11307 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
201, 18, 19divcli 10959 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℂ
2118, 19reccli 10947 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℂ
22 df-3 11272 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
2322oveq1i 6823 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2418, 19dividi 10950 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = 1
25 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
261, 25, 18, 19divdiri 10974 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
2723, 24, 263eqtr3ri 2791 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28 sincosq1eq 24463 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
2920, 21, 27, 28mp3an 1573 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30 picn 24410 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 10977 . . . . . . . . . 10 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32 3t2e6 11371 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
3332oveq2i 6824 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34 6cn 11294 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
351, 30, 34, 5divassi 10973 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3631, 33, 353eqtri 2786 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
3736fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3829, 37eqtr3i 2784 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 10977 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4030mulid2i 10235 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4140, 32oveq12i 6825 . . . . . . . . 9 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4239, 41eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4342fveq2i 6355 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4438, 43eqtr3i 2784 . . . . . 6 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4517, 44eqtri 2782 . . . . 5 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4613mulid2i 10235 . . . . 5 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4745, 46eqtr4i 2785 . . . 4 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
481, 9mulcli 10237 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49 pipos 24411 . . . . . . . . . . 11 0 < π
502, 3, 49, 4divgt0ii 11133 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 6)
51 2lt6 11399 . . . . . . . . . . 11 2 < 6
52 2re 11282 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
53 2pos 11304 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
5452, 53pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
553, 4pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
562, 49pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57 ltdiv2 11101 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
5854, 55, 56, 57mp3an 1573 . . . . . . . . . . 11 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
5951, 58mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (π / 6) < (π / 2)
60 0re 10232 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 halfpire 24415 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
62 rexr 10277 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63 rexr 10277 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64 elioo2 12409 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6562, 63, 64syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6660, 61, 65mp2an 710 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
676, 50, 59, 66mpbir3an 1427 . . . . . . . . 9 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68 sincosq1sgn 24449 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7069simpri 481 . . . . . . 7 0 < (cos‘(π / 6))
7112, 70gt0ne0ii 10756 . . . . . 6 (cos‘(π / 6)) ≠ 0
7213, 71pm3.2i 470 . . . . 5 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73 mulcan2 10857 . . . . 5 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7448, 25, 72, 73mp3an 1573 . . . 4 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7547, 74mpbi 220 . . 3 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
761, 9, 10, 75mvllmuli 11050 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77 3re 11286 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
78 3pos 11306 . . . . . . . 8 0 < 3
7977, 78sqrtpclii 14321 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8079recni 10244 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8180, 1, 10sqdivi 13142 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8260, 77, 78ltleii 10352 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8377sqsqrti 14314 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
85 sq2 13154 . . . . . 6 (2↑2) = 4
8684, 85oveq12i 6825 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
8781, 86eqtri 2782 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
8887fveq2i 6355 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
8977sqrtge0i 14315 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9179, 52divge0i 11125 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9290, 53, 91mp2an 710 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9379, 52, 10redivcli 10984 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9493sqrtsqi 14313 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
9592, 94ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96 4cn 11290 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
97 4ne0 11309 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9896, 97dividi 10950 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
9998oveq1i 6823 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
10096, 97pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101 divsubdir 10913 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
10296, 25, 100, 101mp3an 1573 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103 3p1e4 11345 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
10496, 25, 18subadd2i 10561 . . . . . . . . 9 ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4)
105103, 104mpbir 221 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
106105oveq1i 6823 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
107102, 106eqtr3i 2784 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
10896, 97reccli 10947 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
10913sqcli 13138 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
11076oveq1i 6823 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
1111, 10sqrecii 13140 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11285oveq2i 6824 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
113110, 111, 1123eqtri 2786 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
114113oveq1i 6823 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
115 sincossq 15105 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1167, 115ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
117114, 116eqtr3i 2784 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
11825, 108, 109, 117subaddrii 10562 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
11999, 107, 1183eqtr3ri 2791 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
120119fveq2i 6355 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
12160, 12, 70ltleii 10352 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12212sqrtsqi 14313 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
123121, 122ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
124120, 123eqtr3i 2784 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
12588, 95, 1243eqtr3ri 2791 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
12676, 125pm3.2i 470 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  6c6 11266  (,)cioo 12368  cexp 13054  csqrt 14172  sincsin 14993  cosccos 14994  πcpi 14996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  24467  1cubrlem  24767  pigt3  33715
  Copyright terms: Public domain W3C validator