Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos6thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos6thpi 24171
 Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 11035 . . 3 2 ∈ ℂ
2 pire 24114 . . . . . 6 π ∈ ℝ
3 6re 11045 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
4 6pos 11063 . . . . . . 7 0 < 6
53, 4gt0ne0ii 10508 . . . . . 6 6 ≠ 0
62, 3, 5redivcli 10736 . . . . 5 (π / 6) ∈ ℝ
76recni 9996 . . . 4 (π / 6) ∈ ℂ
8 sincl 14781 . . . 4 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10 2ne0 11057 . . 3 2 ≠ 0
11 recoscl 14796 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1312recni 9996 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
141, 9, 13mulassi 9993 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15 sin2t 14832 . . . . . . . 8 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
167, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
1714, 16eqtr4i 2646 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18 3cn 11039 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
19 3ne0 11059 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
201, 18, 19divcli 10711 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℂ
2118, 19reccli 10699 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℂ
22 df-3 11024 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
2322oveq1i 6614 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2418, 19dividi 10702 . . . . . . . . . 10 (3 / 3) = 1
25 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
261, 25, 18, 19divdiri 10726 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
2723, 24, 263eqtr3ri 2652 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28 sincosq1eq 24168 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
2920, 21, 27, 28mp3an 1421 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30 picn 24115 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
311, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 10729 . . . . . . . . . 10 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32 3t2e6 11123 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
3332oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34 6cn 11046 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
351, 30, 34, 5divassi 10725 . . . . . . . . . 10 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3631, 33, 353eqtri 2647 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
3736fveq2i 6151 . . . . . . . 8 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3829, 37eqtr3i 2645 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
3925, 18, 30, 1, 19, 10divmuldivi 10729 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4030mulid2i 9987 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4140, 32oveq12i 6616 . . . . . . . . 9 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4239, 41eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4342fveq2i 6151 . . . . . . 7 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4438, 43eqtr3i 2645 . . . . . 6 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4517, 44eqtri 2643 . . . . 5 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4613mulid2i 9987 . . . . 5 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4745, 46eqtr4i 2646 . . . 4 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
481, 9mulcli 9989 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49 pipos 24116 . . . . . . . . . . 11 0 < π
502, 3, 49, 4divgt0ii 10885 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 6)
51 2lt6 11151 . . . . . . . . . . 11 2 < 6
52 2re 11034 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
53 2pos 11056 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
5452, 53pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
553, 4pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
562, 49pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57 ltdiv2 10853 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
5854, 55, 56, 57mp3an 1421 . . . . . . . . . . 11 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
5951, 58mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (π / 6) < (π / 2)
60 0re 9984 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 halfpire 24120 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
62 rexr 10029 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63 rexr 10029 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64 elioo2 12158 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6562, 63, 64syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6660, 61, 65mp2an 707 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
676, 50, 59, 66mpbir3an 1242 . . . . . . . . 9 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68 sincosq1sgn 24154 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7069simpri 478 . . . . . . 7 0 < (cos‘(π / 6))
7112, 70gt0ne0ii 10508 . . . . . 6 (cos‘(π / 6)) ≠ 0
7213, 71pm3.2i 471 . . . . 5 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73 mulcan2 10609 . . . . 5 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7448, 25, 72, 73mp3an 1421 . . . 4 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7547, 74mpbi 220 . . 3 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
761, 9, 10, 75mvllmuli 10802 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77 3re 11038 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
78 3pos 11058 . . . . . . . 8 0 < 3
7977, 78sqrtpclii 14056 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8079recni 9996 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8180, 1, 10sqdivi 12888 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8260, 77, 78ltleii 10104 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8377sqsqrti 14049 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
85 sq2 12900 . . . . . 6 (2↑2) = 4
8684, 85oveq12i 6616 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
8781, 86eqtri 2643 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
8887fveq2i 6151 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
8977sqrtge0i 14050 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9082, 89ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9179, 52divge0i 10877 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9290, 53, 91mp2an 707 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9379, 52, 10redivcli 10736 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9493sqrtsqi 14048 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
9592, 94ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96 4cn 11042 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
97 4ne0 11061 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9896, 97dividi 10702 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
9998oveq1i 6614 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
10096, 97pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101 divsubdir 10665 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
10296, 25, 100, 101mp3an 1421 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103 3p1e4 11097 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
10496, 25, 18subadd2i 10313 . . . . . . . . 9 ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4)
105103, 104mpbir 221 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
106105oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
107102, 106eqtr3i 2645 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
10896, 97reccli 10699 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
10913sqcli 12884 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
11076oveq1i 6614 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
1111, 10sqrecii 12886 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11285oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
113110, 111, 1123eqtri 2647 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
114113oveq1i 6614 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
115 sincossq 14831 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1167, 115ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
117114, 116eqtr3i 2645 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
11825, 108, 109, 117subaddrii 10314 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
11999, 107, 1183eqtr3ri 2652 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
120119fveq2i 6151 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
12160, 12, 70ltleii 10104 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12212sqrtsqi 14048 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
123121, 122ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
124120, 123eqtr3i 2645 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
12588, 95, 1243eqtr3ri 2652 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
12676, 125pm3.2i 471 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  6c6 11018  (,)cioo 12117  ↑cexp 12800  √csqrt 13907  sincsin 14719  cosccos 14720  πcpi 14722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537 This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  24172  1cubrlem  24468  pigt3  33034
 Copyright terms: Public domain W3C validator