Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem30 39554
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem30.1 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem30.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem30.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem30.4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem30.5 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem30 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,   ,𝐺,𝑡   ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑇𝑆𝑇))
21anbi2d 739 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝜑𝑠𝑇) ↔ (𝜑𝑆𝑇)))
3 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑃𝑠) = (𝑃𝑆))
4 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺𝑖)‘𝑠) = ((𝐺𝑖)‘𝑆))
54sumeq2sdv 14368 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))
65oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
73, 6eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) ↔ (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))))
82, 7imbi12d 334 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → (((𝜑𝑠𝑇) → (𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))) ↔ ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))))
9 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝑠𝑇)
10 stoweidlem30.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnrecred 11010 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
13 fzfid 12712 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
14 stoweidlem30.1 . . . . . . . . 9 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
15 stoweidlem30.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
16 stoweidlem30.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
1714, 15, 16stoweidlem15 39539 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠𝑇) → (((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑠) ≤ 1))
1817simp1d 1071 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠𝑇) → ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
1918an32s 845 . . . . . 6 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
2013, 19fsumrecl 14398 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
2112, 20remulcld 10014 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ)
22 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺𝑖)‘𝑡) = ((𝐺𝑖)‘𝑠))
2322sumeq2sdv 14368 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
2423oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑡 = 𝑠 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
25 stoweidlem30.2 . . . . 5 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
2624, 25fvmptg 6237 . . . 4 ((𝑠𝑇 ∧ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
279, 21, 26syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
288, 27vtoclg 3252 . 2 (𝑆𝑇 → ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))))
2928anabsi7 859 1 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   ≤ cle 10019   / cdiv 10628  ℕcn 10964  ...cfz 12268  Σcsu 14350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351 This theorem is referenced by:  stoweidlem37  39561  stoweidlem38  39562  stoweidlem44  39568
 Copyright terms: Public domain W3C validator