Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem29 39574
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1 𝑡𝐹
stoweidlem29.2 𝑡𝜑
stoweidlem29.3 𝑇 = 𝐽
stoweidlem29.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem29.5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29 (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑇   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
3 eqid 2621 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 38694 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
6 df-f 5856 . . . . 5 (𝐹:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
75, 6sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
87simprd 479 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
97simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝑇)
10 fnfun 5951 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑇 → Fun 𝐹)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → Fun 𝐹)
13 fdm 6013 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑇⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑇)
145, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑇)
1514eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = dom 𝐹)
1615eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝑇𝑠 ∈ dom 𝐹))
1716biimpa 501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝑠 ∈ dom 𝐹)
18 fvelrn 6313 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹)
1912, 17, 18syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹)
20 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10 𝑡𝐹
21 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑠
2220, 21nffv 6160 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐹𝑠)
2322nfeq2 2776 . . . . . . . 8 𝑡 𝑥 = (𝐹𝑠)
24 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑠) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)))
2523, 24ralbid 2978 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑠) → (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)))
2625rspcev 3298 . . . . . 6 (((𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
2719, 26sylan 488 . . . . 5 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
28 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑠𝐹
29 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑠𝑇
30 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑡𝑇
31 stoweidlem29.5 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
32 stoweidlem29.7 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
3328, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32evth2f 38684 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡))
3427, 33r19.29a 3072 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
35 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑦(𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
36 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
379ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐹 Fn 𝑇)
38 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑦
3930, 38, 20fvelrnbf 38687 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦))
4136, 40mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦)
42 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝜑
43 nfra1 2936 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)
4442, 43nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
4520nfrn 5333 . . . . . . . . . . . 12 𝑡ran 𝐹
4645nfcri 2755 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑦 ∈ ran 𝐹
4744, 46nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
48 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑥𝑦
49 rspa 2925 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
50 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑡) = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ 𝑥𝑦))
5149, 50syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦))
5251ex 450 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → (𝑡𝑇 → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦)))
5352ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑡𝑇 → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦)))
5447, 48, 53rexlimd 3020 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦))
5541, 54mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥𝑦)
5655ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) → (𝑦 ∈ ran 𝐹𝑥𝑦))
5735, 56ralrimi 2952 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
5857ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
5958reximdv 3011 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
6034, 59mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
61 lbinfcl 10928 . . 3 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
628, 60, 61syl2anc 692 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
638, 62sseldd 3588 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
648adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
6560adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
66 dffn3 6016 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
679, 66sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
6867ffvelrnda 6320 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
69 lbinfle 10929 . . . . 5 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
7064, 65, 68, 69syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
7170ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
7242, 71ralrimi 2952 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
7362, 63, 723jca 1240 1 (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3559  c0 3896   cuni 4407   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080  Fun wfun 5846   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  infcinf 8298  cr 9886   < clt 10025  cle 10026  (,)cioo 12124  topGenctg 16026   Cn ccn 20947  Compccmp 21108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  39607
  Copyright terms: Public domain W3C validator