Theorem fsumrecl 15091

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10594	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 10620	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 10644	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15089	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536   + caddc 10540  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  fsumless  15151  fsumle  15154  fsumlt  15155  fsumabs  15156  o1fsum  15168  isumltss  15203  climcndslem1  15204  climcndslem2  15205  mertenslem1  15240  rpnnen2lem10  15576  prmreclem4  16255  prmreclem5  16256  lebnumlem1  23565  csbren  24002  trirn  24003  rrxmet  24011  rrxdstprj1  24012  ovolfiniun  24102  ovoliunlem1  24103  ovolscalem1  24114  ovolicc2lem4  24121  volfiniun  24148  uniioombllem3a  24185  uniioombllem4  24187  i1fd  24282  itg1cl  24286  i1fadd  24296  i1fmul  24297  dvfsumge  24619  dvfsumabs  24620  dvfsumrlimf  24622  dvfsumlem2  24624  dvfsumlem3  24625  dvfsumlem4  24626  dvfsum2  24631  aaliou3lem5  24936  mtest  24992  mtestbdd  24993  abelthlem7  25026  abelthlem8  25027  log2ublem2  25525  log2ub  25527  birthdaylem3  25531  emcllem1  25573  emcllem2  25574  emcllem3  25575  harmoniclbnd  25586  harmonicubnd  25587  harmonicbnd4  25588  fsumharmonic  25589  ftalem1  25650  ftalem4  25653  ftalem5  25654  chtf  25685  chpf  25700  chpub  25796  logfaclbnd  25798  logexprlim  25801  chtppilimlem1  26049  vmadivsum  26058  vmadivsumb  26059  rplogsumlem1  26060  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrisumlem2  26066  dchrmusum2  26070  dchrvmasumlem2  26074  dchrvmasumlem3  26075  dchrvmasumiflem1  26077  dchrisum0ff  26083  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0fno1  26087  dchrisum0re  26089  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem2a  26093  rplogsum  26103  dirith2  26104  mudivsum  26106  mulogsumlem  26107  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  logsqvma2  26119  log2sumbnd  26120  selberglem2  26122  selberg  26124  selbergb  26125  selberg2b  26128  chpdifbndlem1  26129  logdivbnd  26132  selberg3lem1  26133  selberg3lem2  26134  selberg3  26135  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  pntrsumo1  26141  pntrsumbnd  26142  pntrsumbnd2  26143  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntsf  26149  pntsval2  26152  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6  26159  pntrlog2bnd  26160  pntpbnd1  26162  pntpbnd2  26163  pntlemj  26179  pntlemf  26181  pntlemk  26182  pntlemo  26183  axsegconlem2  26704  ax5seglem3  26717  ax5seg  26724  esumpcvgval  31337  esumcvg  31345  sibfof  31598  reprlt  31890  reprgt  31892  reprinfz1  31893  hgt750lemd  31919  hgt750lemb  31927  hgt750lema  31928  hgt750leme  31929  tgoldbachgtde  31931  knoppndvlem5  33855  knoppndvlem11  33861  knoppndvlem14  33864  mettrifi  35047  geomcau  35049  rrnmet  35122  rrndstprj1  35123  rrndstprj2  35124  fltnltalem  39294  refsumcn  41307  fsumge0cl  41874  fsumreclf  41877  stoweidlem11  42316  stoweidlem17  42322  stoweidlem20  42325  stoweidlem26  42331  stoweidlem30  42335  stoweidlem32  42337  stoweidlem38  42343  stoweidlem44  42349  stirlinglem12  42390  dirkeritg  42407  fourierdlem73  42484  fourierdlem83  42494  fourierdlem112  42523  etransclem23  42562  etransclem35  42574  etransclem48  42587  sge0rnre  42666  sge0cl  42683  sge0fsum  42689  sge0ltfirp  42702  sge0le  42709  sge0split  42711  sge0iunmptlemfi  42715  sge0iunmptlemre  42717  sge0xaddlem1  42735  sge0xaddlem2  42736  sge0seq  42748  omeiunltfirp  42821  carageniuncllem2  42824  hoidmvlelem2  42898  hoidmvlelem3  42899  hoiqssbllem2  42925  fsummsndifre  43552  fsummmodsndifre  43554