MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumrecl 14509
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fsumrecl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 10031 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3 readdcl 10057 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
43adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsumrecl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 0red 10079 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 14507 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  wss 3607  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  fsumless  14572  fsumle  14575  fsumlt  14576  fsumabs  14577  o1fsum  14589  isumltss  14624  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  mertenslem1  14660  rpnnen2lem10  14996  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  lebnumlem1  22807  csbren  23228  trirn  23229  rrxmet  23237  rrxdstprj1  23238  ovolfiniun  23315  ovoliunlem1  23316  ovolscalem1  23327  ovolicc2lem4  23334  volfiniun  23361  uniioombllem3a  23398  uniioombllem4  23400  i1fd  23493  itg1cl  23497  i1fadd  23507  i1fmul  23508  dvfsumge  23830  dvfsumabs  23831  dvfsumrlimf  23833  dvfsumlem2  23835  dvfsumlem3  23836  dvfsumlem4  23837  dvfsum2  23842  aaliou3lem5  24147  mtest  24203  mtestbdd  24204  abelthlem7  24237  abelthlem8  24238  log2ublem2  24719  log2ub  24721  birthdaylem3  24725  emcllem1  24767  emcllem2  24768  emcllem3  24769  harmoniclbnd  24780  harmonicubnd  24781  harmonicbnd4  24782  fsumharmonic  24783  ftalem1  24844  ftalem4  24847  ftalem5  24848  chtf  24879  chpf  24894  chpub  24990  logfaclbnd  24992  logexprlim  24995  chtppilimlem1  25207  vmadivsum  25216  vmadivsumb  25217  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem2  25224  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumlem3  25233  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0ff  25241  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0fno1  25245  dchrisum0re  25247  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2a  25251  rplogsum  25261  dirith2  25262  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  mulog2sumlem1  25268  mulog2sumlem2  25269  vmalogdivsum2  25272  vmalogdivsum  25273  2vmadivsumlem  25274  logsqvma2  25277  log2sumbnd  25278  selberglem2  25280  selberg  25282  selbergb  25283  selberg2b  25286  chpdifbndlem1  25287  logdivbnd  25290  selberg3lem1  25291  selberg3lem2  25292  selberg3  25293  selberg4lem1  25294  selberg4  25295  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd  25300  pntrsumbnd2  25301  selberg3r  25303  selberg4r  25304  selberg34r  25305  pntsf  25307  pntsval2  25310  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntlemj  25337  pntlemf  25339  pntlemk  25340  pntlemo  25341  axsegconlem2  25843  ax5seglem3  25856  ax5seg  25863  esumpcvgval  30268  esumcvg  30276  sibfof  30530  reprlt  30825  reprgt  30827  reprinfz1  30828  hgt750lemd  30854  hgt750lemb  30862  hgt750lema  30863  hgt750leme  30864  tgoldbachgtde  30866  knoppndvlem5  32632  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem14  32641  mettrifi  33683  geomcau  33685  rrnmet  33758  rrndstprj1  33759  rrndstprj2  33760  refsumcn  39503  fsumge0cl  40123  fsumreclf  40126  stoweidlem11  40546  stoweidlem17  40552  stoweidlem20  40555  stoweidlem26  40561  stoweidlem30  40565  stoweidlem32  40567  stoweidlem38  40573  stoweidlem44  40579  stirlinglem12  40620  dirkeritg  40637  fourierdlem73  40714  fourierdlem83  40724  fourierdlem112  40753  etransclem23  40792  etransclem35  40804  etransclem48  40817  sge0rnre  40899  sge0cl  40916  sge0fsum  40922  sge0ltfirp  40935  sge0le  40942  sge0split  40944  sge0iunmptlemfi  40948  sge0iunmptlemre  40950  sge0xaddlem1  40968  sge0xaddlem2  40969  sge0seq  40981  omeiunltfirp  41054  carageniuncllem2  41057  hoidmvlelem2  41131  hoidmvlelem3  41132  hoiqssbllem2  41158  fsummsndifre  41667  fsummmodsndifre  41669
  Copyright terms: Public domain W3C validator