Theorem tanhlt1 15513

Description: The hyperbolic tangent of a real number is upper bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Proof of Theorem tanhlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10596	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 10627	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 10621	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpcoshcl 15510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
6	5	rpne0d 12437	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7		tanval 15481	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
8	4, 6, 7	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
9	8	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
10	4	sincld 15483	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		recoshcl 15511	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10669	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14		ine0 11075	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
16	10, 12, 13, 6, 15	divdiv32d 11441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
17		sinhval 15507	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
18	2, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
19		coshval 15508	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
21	18, 20	oveq12d 7174	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
22	9, 16, 21	3eqtrd 2860	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
23		reefcl 15440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
24		renegcl 10949	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
25	24	reefcld 15441	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ)
26	23, 25	resubcld 11068	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 10669	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
28	23, 25	readdcld 10670	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10669	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
30		2cnd 11716	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
31	20, 6	eqnetrrd 3084	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0)
32		2ne0 11742	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divne0bd 11428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0 ↔ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0))
35	31, 34	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0)
36	27, 29, 30, 35, 33	divcan7d 11444	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
37	22, 36	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
38	24	rpefcld 15458	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ+)
39	23, 38	ltsubrpd 12464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (exp‘𝐴))
40	23, 38	ltaddrpd 12465	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
41	26, 23, 28, 39, 40	lttrd 10801	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
42	29	mulid1d 10658	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
43	41, 42	breqtrrd 5094	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1))
44		1red 10642	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
45		efgt0 15456	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
46		efgt0 15456	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
47	24, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
48	23, 25, 45, 47	addgt0d 11215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
49		ltdivmul 11515	. . . 4 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
50	26, 44, 28, 48, 49	syl112anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
51	43, 50	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1)
52	37, 51	eqbrtrd 5088	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538  ici 10539   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  2c2 11693  expce 15415  sincsin 15417  cosccos 15418  tanctan 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-tan 15425

This theorem is referenced by:  tanhbnd  15514