MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsmhm 21859
Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsmhm.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsmhm.k 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
tsmsmhm.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsmhm.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsmhm.3 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
tsmsmhm.4 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
tsmsmhm.5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
tsmsmhm.6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
tsmsmhm.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsmhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsmhm.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsmhm (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))

Proof of Theorem tsmsmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsmhm.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmsmhm.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
42, 3istps 20651 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4sylib 208 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 eqid 2621 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 eqid 2621 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
8 eqid 2621 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
9 tsmsmhm.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
106, 7, 8, 9tsmsfbas 21841 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11 fgcl 21592 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
13 tsmsmhm.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
14 tsmsmhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
152, 6, 13, 9, 14tsmslem1 21842 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
16 eqid 2621 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
1715, 16fmptd 6340 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
18 tsmsmhm.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
192, 3, 6, 8, 1, 9, 14tsmsval 21844 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
2018, 19eleqtrd 2700 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
21 tsmsmhm.6 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
222, 13, 1, 9, 14tsmscl 21848 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2322, 18sseldd 3584 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
24 toponuni 20642 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
255, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
2623, 25eleqtrd 2700 . . . 4 (𝜑𝑋 𝐽)
27 eqid 2621 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2827cncnpi 20992 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑋 𝐽) → 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
2921, 26, 28syl2anc 692 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
30 flfcnp 21718 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))) → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
315, 12, 17, 20, 29, 30syl32anc 1331 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
32 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
33 tsmsmhm.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
34 tsmsmhm.3 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
35 tsmsmhm.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
3632, 33istps 20651 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
3735, 36sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
38 cnf2 20963 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
395, 37, 21, 38syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
40 fco 6015 . . . . 5 ((𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4139, 14, 40syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4232, 33, 6, 8, 34, 9, 41tsmsval 21844 . . 3 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
43 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
4439feqmptd 6206 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (𝑤𝐵 ↦ (𝐶𝑤)))
45 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) → (𝐶𝑤) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
4615, 43, 44, 45fmptco 6351 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
47 resco 5598 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧) = (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))
4847oveq2i 6615 . . . . . . 7 (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧)))
49 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5013adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5134adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
52 cmnmnd 18129 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ CMnd → 𝐻 ∈ Mnd)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ Mnd)
54 elfpw 8212 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
5554simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
5655adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
57 tsmsmhm.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5857adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5954simplbi 476 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
60 fssres 6027 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
6114, 59, 60syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
62 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6461, 56, 63fdmfifsupp 8229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
652, 49, 50, 53, 56, 58, 61, 64gsummhm 18259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6648, 65syl5eq 2667 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6766mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
6846, 67eqtr4d 2658 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))))
6968fveq2d 6152 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
7042, 69eqtr4d 2658 . 2 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
7131, 70eleqtrrd 2701 1 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402  cmpt 4673  ran crn 5075  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  TopOpenctopn 16003  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215   MndHom cmhm 17254  CMndccmn 18114  fBascfbas 19653  filGencfg 19654  TopOnctopon 20618  TopSpctps 20619   Cn ccn 20938   CnP ccnp 20939  Filcfil 21559   fLimf cflf 21649   tsums ctsu 21839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-tsms 21840
This theorem is referenced by:  tsmsinv  21861  esumcocn  29920
  Copyright terms: Public domain W3C validator