MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsmhm 22150
Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsmhm.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsmhm.k 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
tsmsmhm.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsmhm.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsmhm.3 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
tsmsmhm.4 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
tsmsmhm.5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
tsmsmhm.6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
tsmsmhm.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsmhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsmhm.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsmhm (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))

Proof of Theorem tsmsmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsmhm.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmsmhm.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
42, 3istps 20940 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4sylib 208 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 eqid 2760 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 eqid 2760 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
8 eqid 2760 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
9 tsmsmhm.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
106, 7, 8, 9tsmsfbas 22132 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11 fgcl 21883 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
13 tsmsmhm.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
14 tsmsmhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
152, 6, 13, 9, 14tsmslem1 22133 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
16 eqid 2760 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
1715, 16fmptd 6548 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
18 tsmsmhm.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
192, 3, 6, 8, 1, 9, 14tsmsval 22135 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
2018, 19eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
21 tsmsmhm.6 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
222, 13, 1, 9, 14tsmscl 22139 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2322, 18sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
24 toponuni 20921 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
255, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
2623, 25eleqtrd 2841 . . . 4 (𝜑𝑋 𝐽)
27 eqid 2760 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2827cncnpi 21284 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑋 𝐽) → 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
2921, 26, 28syl2anc 696 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
30 flfcnp 22009 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))) → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
315, 12, 17, 20, 29, 30syl32anc 1485 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
32 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
33 tsmsmhm.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
34 tsmsmhm.3 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
35 tsmsmhm.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
3632, 33istps 20940 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
3735, 36sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
38 cnf2 21255 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
395, 37, 21, 38syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
40 fco 6219 . . . . 5 ((𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4139, 14, 40syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4232, 33, 6, 8, 34, 9, 41tsmsval 22135 . . 3 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
43 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
4439feqmptd 6411 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (𝑤𝐵 ↦ (𝐶𝑤)))
45 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) → (𝐶𝑤) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
4615, 43, 44, 45fmptco 6559 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
47 resco 5800 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧) = (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))
4847oveq2i 6824 . . . . . . 7 (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧)))
49 eqid 2760 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5013adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5134adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
52 cmnmnd 18408 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ CMnd → 𝐻 ∈ Mnd)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ Mnd)
54 elfpw 8433 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
5554simprbi 483 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
5655adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
57 tsmsmhm.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5857adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5954simplbi 478 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
60 fssres 6231 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
6114, 59, 60syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
62 fvexd 6364 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6361, 56, 62fdmfifsupp 8450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
642, 49, 50, 53, 56, 58, 61, 63gsummhm 18538 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6548, 64syl5eq 2806 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6665mpteq2dva 4896 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
6746, 66eqtr4d 2797 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))))
6867fveq2d 6356 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
6942, 68eqtr4d 2797 . 2 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
7031, 69eleqtrrd 2842 1 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302   cuni 4588  cmpt 4881  ran crn 5267  cres 5268  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  Basecbs 16059  TopOpenctopn 16284  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495   MndHom cmhm 17534  CMndccmn 18393  fBascfbas 19936  filGencfg 19937  TopOnctopon 20917  TopSpctps 20938   Cn ccn 21230   CnP ccnp 21231  Filcfil 21850   fLimf cflf 21940   tsums ctsu 22130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-ntr 21026  df-nei 21104  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tsms 22131
This theorem is referenced by:  tsmsinv  22152  esumcocn  30451
  Copyright terms: Public domain W3C validator