MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnf2 21034
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnf2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋𝑌)

Proof of Theorem cnf2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 21020 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
21simprbda 652 . 2 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋𝑌)
323impa 1257 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1988  wral 2909  ccnv 5103  cima 5107  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  TopOnctopon 20696   Cn ccn 21009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-map 7844  df-top 20680  df-topon 20697  df-cn 21012
This theorem is referenced by:  iscncl  21054  cncls2  21058  cncls  21059  cnntr  21060  cnrest2  21071  cnrest2r  21072  ptcn  21411  txdis1cn  21419  lmcn2  21433  cnmpt11  21447  cnmpt1t  21449  cnmpt12  21451  cnmpt21  21455  cnmpt2t  21457  cnmpt22  21458  cnmpt22f  21459  cnmptcom  21462  cnmptkp  21464  cnmptk1  21465  cnmpt1k  21466  cnmptkk  21467  cnmptk1p  21469  cnmptk2  21470  cnmpt2k  21472  qtopss  21499  qtopeu  21500  qtopomap  21502  qtopcmap  21503  hmeof1o2  21547  xpstopnlem1  21593  xkocnv  21598  xkohmeo  21599  qtophmeo  21601  cnmpt1plusg  21872  cnmpt2plusg  21873  tsmsmhm  21930  cnmpt1vsca  21978  cnmpt2vsca  21979  cnmpt1ds  22626  cnmpt2ds  22627  fsumcn  22654  cnmpt2pc  22708  htpyco1  22758  htpyco2  22759  phtpyco2  22770  pi1xfrf  22834  pi1xfr  22836  pi1xfrcnvlem  22837  pi1xfrcnv  22838  pi1cof  22840  pi1coghm  22842  cnmpt1ip  23027  cnmpt2ip  23028  txsconnlem  31196  txsconn  31197  cvmlift3lem6  31280  fcnre  39004  refsumcn  39009  refsum2cnlem1  39016  fprodcnlem  39631  icccncfext  39863  itgsubsticclem  39954
  Copyright terms: Public domain W3C validator