MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringlpir 19831
Description: The integers are a principal ideal ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
zringlpir ring ∈ LPIR

Proof of Theorem zringlpir
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringring 19815 . 2 ring ∈ Ring
2 eleq1 2688 . . . 4 (𝑥 = {0} → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring)))
3 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring))
4 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ≠ {0})
5 eqid 2621 . . . . . . 7 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < )
63, 4, 5zringlpirlem2 19827 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝑥)
7 simpll 790 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8 simplr 792 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ≠ {0})
9 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
107, 8, 5, 9zringlpirlem3 19828 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧𝑥) → inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧)
1110ralrimiva 2965 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → ∀𝑧𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧)
12 breq1 4654 . . . . . . . 8 (𝑦 = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) → (𝑦𝑧 ↔ inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧))
1312ralbidv 2985 . . . . . . 7 (𝑦 = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) → (∀𝑧𝑥 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑧𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧))
1413rspcev 3307 . . . . . 6 ((inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧)
156, 11, 14syl2anc 693 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧)
16 eqid 2621 . . . . . . . 8 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
17 eqid 2621 . . . . . . . 8 (LPIdeal‘ℤring) = (LPIdeal‘ℤring)
18 dvdsrzring 19825 . . . . . . . 8 ∥ = (∥r‘ℤring)
1916, 17, 18lpigen 19250 . . . . . . 7 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧))
201, 19mpan 706 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧))
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧))
2215, 21mpbird 247 . . . 4 ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring))
23 zring0 19822 . . . . . 6 0 = (0g‘ℤring)
2417, 23lpi0 19241 . . . . 5 (ℤring ∈ Ring → {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring))
251, 24mp1i 13 . . . 4 (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring))
262, 22, 25pm2.61ne 2878 . . 3 (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring))
2726ssriv 3605 . 2 (LIdeal‘ℤring) ⊆ (LPIdeal‘ℤring)
2817, 16islpir2 19245 . 2 (ℤring ∈ LPIR ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (LIdeal‘ℤring) ⊆ (LPIdeal‘ℤring)))
291, 27, 28mpbir2an 955 1 ring ∈ LPIR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  wrex 2912  cin 3571  wss 3572  {csn 4175   class class class wbr 4651  cfv 5886  infcinf 8344  cr 9932  0cc0 9933   < clt 10071  cn 11017  cdvds 14977  Ringcrg 18541  LIdealclidl 19164  LPIdealclpidl 19235  LPIRclpir 19236  ringzring 19812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-dvds 14978  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-subg 17585  df-cmn 18189  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-cring 18544  df-dvdsr 18635  df-subrg 18772  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-lidl 19168  df-rsp 19169  df-lpidl 19237  df-lpir 19238  df-cnfld 19741  df-zring 19813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator