Theorem zringunit 20635

Description: The units of ℤ are the integers with norm 1, i.e. 1 and -1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringunit	⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem zringunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 20623	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
3	1, 2	unitcl 19409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zsubrg 20598	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		zgz 16269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ[i])
6	5	ssriv 3971	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ[i]
7		gzsubrg 20599	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ↾s ℤ[i]) = (ℂfld ↾s ℤ[i])
9	8	subsubrg 19561	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i])))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]))
11	4, 6, 10	mpbir2an 709	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
12		df-zring 20618	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
13		ressabs 16563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]) → ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ))
14	7, 6, 13	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ)
15	12, 14	eqtr4i 2847	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ)
16		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) = (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
17	15, 16, 2	subrguss 19550	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
18	11, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
19	18	sseli 3963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
20	8	gzrngunit 20611	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (abs‘𝐴) = 1))
21	20	simprbi 499	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (abs‘𝐴) = 1)
22	19, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (abs‘𝐴) = 1)
23	3, 22	jca 514	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
24		zcn 11987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) = 1)
27		ax-1ne0 10606	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ≠ 0)
29	26, 28	eqnetrd 3083	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
30		fveq2 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
31		abs0 14645	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
32	30, 31	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
33	32	necon3i 3048	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
35		eldifsn 4719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
36	25, 34, 35	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
37		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		cnfldinv 20576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	25, 34, 38	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40		zre 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		absresq 14662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
44	26	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2))
45		sq1 13559	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
46	44, 45	syl6eq 2872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = 1)
47	25	sqvald 13508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
48	43, 46, 47	3eqtr3rd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴 · 𝐴) = 1)
49		1cnd 10636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ∈ ℂ)
50	49, 25, 25, 34	divmuld 11438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 1))
51	48, 50	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (1 / 𝐴) = 𝐴)
52	39, 51	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = 𝐴)
53	52, 37	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)
54		cnfldbas 20549	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
55		cnfld0 20569	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
56		cndrng 20574	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
57	54, 55, 56	drngui 19508	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
58		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
59	12, 57, 2, 58	subrgunit 19553	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)))
60	4, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ))
61	36, 37, 53, 60	syl3anbrc 1339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (Unit‘ℤring))
62	23, 61	impbii 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4567  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   / cdiv 11297  2c2 11693  ℤcz 11982  ↑cexp 13430  abscabs 14593  ℤ[i]cgz 16265   ↾_s cress 16484  Unitcui 19389  inv_rcinvr 19421  SubRingcsubrg 19531  ℂ_fldccnfld 20545  ℤ_ringzring 20617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-gz 16266  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19504  df-subrg 19533  df-cnfld 20546  df-zring 20618

This theorem is referenced by:  zringndrg  20637  prmirredlem  20640  qqhval2lem  31222