Theorem exnal 201

Description: Theorem 19.14 of [Margaris] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmid.1	⊢ A:∗

Assertion

Ref	Expression
exnal	⊢ ⊤⊧[(∃λx:α (¬ A)) = (¬ (∀λx:α A))]

Distinct variable groups:   x,A   α,x

Proof of Theorem exnal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wnot 138	. . 3 ⊢ ¬ :(∗ → ∗)
2		wex 139	. . . . 5 ⊢ ∃:((α → ∗) → ∗)
3		exmid.1	. . . . . . 7 ⊢ A:∗
4	1, 3	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (¬ A):∗
5	4	wl 66	. . . . 5 ⊢ λx:α (¬ A):(α → ∗)
6	2, 5	wc 50	. . . 4 ⊢ (∃λx:α (¬ A)):∗
7	1, 6	wc 50	. . 3 ⊢ (¬ (∃λx:α (¬ A))):∗
8	1, 7	wc 50	. 2 ⊢ (¬ (¬ (∃λx:α (¬ A)))):∗
9		wal 134	. . . . 5 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
10	1, 4	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (¬ (¬ A)):∗
11	10	wl 66	. . . . 5 ⊢ λx:α (¬ (¬ A)):(α → ∗)
12	9, 11	wc 50	. . . 4 ⊢ (∀λx:α (¬ (¬ A))):∗
13	4	alnex 186	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:α (¬ (¬ A))) = (¬ (∃λx:α (¬ A)))]
14	12, 13	eqcomi 79	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(¬ (∃λx:α (¬ A))) = (∀λx:α (¬ (¬ A)))]
15	1, 7, 14	ceq2 90	. 2 ⊢ ⊤⊧[(¬ (¬ (∃λx:α (¬ A)))) = (¬ (∀λx:α (¬ (¬ A))))]
16	6	notnot 200	. 2 ⊢ ⊤⊧[(∃λx:α (¬ A)) = (¬ (¬ (∃λx:α (¬ A))))]
17	3	wl 66	. . . 4 ⊢ λx:α A:(α → ∗)
18	9, 17	wc 50	. . 3 ⊢ (∀λx:α A):∗
19	3	notnot 200	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[A = (¬ (¬ A))]
20	3, 19	leq 91	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[λx:α A = λx:α (¬ (¬ A))]
21	9, 17, 20	ceq2 90	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:α A) = (∀λx:α (¬ (¬ A)))]
22	1, 18, 21	ceq2 90	. 2 ⊢ ⊤⊧[(¬ (∀λx:α A)) = (¬ (∀λx:α (¬ (¬ A))))]
23	8, 15, 16, 22	3eqtr4i 96	1 ⊢ ⊤⊧[(∃λx:α (¬ A)) = (¬ (∀λx:α A))]

Syntax hints:   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  ¬ tne 120  ∀tal 122  ∃tex 123

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-eta 177  ax-wat 192  ax-ac 196

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130  df-ex 131  df-or 132

This theorem is referenced by: (None)