Theorem fsum2d 11398

Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that B ( j ) is a function of j. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fsum2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fsum2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fsum2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsum2d	|- ( ph -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   j, k, z, A   B, k, z   D, j, k   z, C   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   D( z)

Proof of Theorem fsum2d

Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3167	. 2 |- A C_ A
2		fsum2d.2	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3170	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		sumeq1 11318	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. (/) sum_ k e. B C )
5		iuneq1 3886	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. (/) ( { j } X. B ) )
6	5	sumeq1d 11329	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D )
7	4, 6	eqeq12d 2185	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) )
8	3, 7	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) ) )
9	8	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
10		sseq1 3170	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
11		sumeq1 11318	. . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. x sum_ k e. B C )
12		iuneq1 3886	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. x ( { j } X. B ) )
13	12	sumeq1d 11329	. . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
14	11, 13	eqeq12d 2185	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
15	10, 14	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) )
16	15	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) ) )
17		sseq1 3170	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
18		sumeq1 11318	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C )
19		iuneq1 3886	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
20	19	sumeq1d 11329	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
21	18, 20	eqeq12d 2185	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) )
22	17, 21	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
23	22	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
24		sseq1 3170	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
25		sumeq1 11318	. . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. A sum_ k e. B C )
26		iuneq1 3886	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) )
27	26	sumeq1d 11329	. . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
28	25, 27	eqeq12d 2185	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
29	24, 28	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
30	29	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) )
31		sum0 11351	. . . . . 6 |- sum_ z e. (/) D = 0
32		0iun 3930	. . . . . . 7 |- U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/)
33	32	sumeq1i 11326	. . . . . 6 |- sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D = sum_ z e. (/) D
34		sum0 11351	. . . . . 6 |- sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = 0
35	31, 33, 34	3eqtr4ri 2202	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D
36	35	2a1i 27	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) )
37		ssun1 3290	. . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
38		sstr 3155	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
39	37, 38	mpan 422	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
40	39	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
41		fsum2d.1	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
42	2	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A e. Fin )
43		simpll 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph )
44		fsum2d.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
45	43, 44	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ j e. A ) -> B e. Fin )
46		fsum2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
47	43, 46	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
48		simplrr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
49		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
50		simplrl 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
51		biid 170	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
52	41, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 51	fsum2dlemstep 11397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
53	52	exp31 362	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
54	53	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
55	40, 54	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
56	55	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
57	56	a2d 26	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
58	9, 16, 23, 30, 36, 57	findcard2s 6868	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
59	2, 58	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
60	1, 59	mpi 15	1 |- ( ph -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   <.cop 3586   U_ciun 3873   X. cxp 4609   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  fsumxp  11399  fisumcom2  11401