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Theorem fsum2d 12202
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that B ( j ) is a function of j. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fsum2d.2 |- ( ph -> A e. Fin )
fsum2d.3 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fsum2d.4 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
Assertion
Ref Expression
fsum2d |- ( ph -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
Distinct variable groups:   j, k, z, A   B, k, z   D, j, k   z, C   ph, j, k, z
Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   D( z)
Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3268 . 2 |- A C_ A
2 fsum2d.2 . . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3 sseq1 3271 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4 sumeq1 12121 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. (/) sum_ k e. B C )
5 iuneq1 4025 . . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. (/) ( { j } X. B ) )
65sumeq1d 12132 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D )
74, 6eqeq12d 2253 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) )
83, 7imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) ) )
98imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
10 sseq1 3271 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
11 sumeq1 12121 . . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. x sum_ k e. B C )
12 iuneq1 4025 . . . . . . . 8 |- ( w = x -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. x ( { j } X. B ) )
1312sumeq1d 12132 . . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
1411, 13eqeq12d 2253 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
1510, 14imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) )
1615imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) ) )
17 sseq1 3271 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
18 sumeq1 12121 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C )
19 iuneq1 4025 . . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
2019sumeq1d 12132 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
2118, 20eqeq12d 2253 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) )
2217, 21imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
2322imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
24 sseq1 3271 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
25 sumeq1 12121 . . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. A sum_ k e. B C )
26 iuneq1 4025 . . . . . . . 8 |- ( w = A -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) )
2726sumeq1d 12132 . . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
2825, 27eqeq12d 2253 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
2924, 28imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
3029imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) )
31 sum0 12155 . . . . . 6 |- sum_ z e. (/) D = 0
32 0iun 4070 . . . . . . 7 |- U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/)
3332sumeq1i 12129 . . . . . 6 |- sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D = sum_ z e. (/) D
34 sum0 12155 . . . . . 6 |- sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = 0
3531, 33, 343eqtr4ri 2270 . . . . 5 |- sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D
36352a1i 27 . . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) )
37 ssun1 3392 . . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
38 sstr 3256 . . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
3937, 38mpan 428 . . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
4039imim1i 60 . . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . 10 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
422ad2antrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A e. Fin )
43 simpll 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph )
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
4543, 44sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ j e. A ) -> B e. Fin )
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
4743, 46sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
48 simplrr 542 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
49 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
50 simplrl 541 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
51 biid 171 . . . . . . . . . 10 |- ( sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
5241, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 51fsum2dlemstep 12201 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
5352exp31 364 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
5453a2d 26 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
5540, 54syl5 32 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
5655expcom 116 . . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
5756a2d 26 . . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 7194 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
592, 58mpcom 36 . 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
601, 59mpi 15 1 |- ( ph -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   <.cop 3712   U_ciun 4012   X. cxp 4772   Fincfn 7022   CCcc 8177   0cc0 8179   sum_csu 12119
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120
This theorem is used by:  fsumxp  12203  fisumcom2  12205
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