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Theorem fsum2d 11946
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that B ( j ) is a function of j. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fsum2d.2 |- ( ph -> A e. Fin )
fsum2d.3 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fsum2d.4 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
Assertion
Ref Expression
fsum2d |- ( ph -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
Distinct variable groups:   j, k, z, A   B, k, z   D, j, k   z, C   ph, j, k, z
Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   D( z)
Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3244 . 2 |- A C_ A
2 fsum2d.2 . . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3 sseq1 3247 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4 sumeq1 11866 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. (/) sum_ k e. B C )
5 iuneq1 3978 . . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. (/) ( { j } X. B ) )
65sumeq1d 11877 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D )
74, 6eqeq12d 2244 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) )
83, 7imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) ) )
98imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
10 sseq1 3247 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
11 sumeq1 11866 . . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. x sum_ k e. B C )
12 iuneq1 3978 . . . . . . . 8 |- ( w = x -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. x ( { j } X. B ) )
1312sumeq1d 11877 . . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
1411, 13eqeq12d 2244 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
1510, 14imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) )
1615imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) ) )
17 sseq1 3247 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
18 sumeq1 11866 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C )
19 iuneq1 3978 . . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
2019sumeq1d 11877 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
2118, 20eqeq12d 2244 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) )
2217, 21imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
2322imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
24 sseq1 3247 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
25 sumeq1 11866 . . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. A sum_ k e. B C )
26 iuneq1 3978 . . . . . . . 8 |- ( w = A -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) )
2726sumeq1d 11877 . . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
2825, 27eqeq12d 2244 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
2924, 28imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
3029imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) )
31 sum0 11899 . . . . . 6 |- sum_ z e. (/) D = 0
32 0iun 4023 . . . . . . 7 |- U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/)
3332sumeq1i 11874 . . . . . 6 |- sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D = sum_ z e. (/) D
34 sum0 11899 . . . . . 6 |- sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = 0
3531, 33, 343eqtr4ri 2261 . . . . 5 |- sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D
36352a1i 27 . . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) )
37 ssun1 3367 . . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
38 sstr 3232 . . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
3937, 38mpan 424 . . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
4039imim1i 60 . . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . 10 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
422ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A e. Fin )
43 simpll 527 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph )
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
4543, 44sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ j e. A ) -> B e. Fin )
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
4743, 46sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
48 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
49 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
50 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
51 biid 171 . . . . . . . . . 10 |- ( sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
5241, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 51fsum2dlemstep 11945 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
5352exp31 364 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
5453a2d 26 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
5540, 54syl5 32 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
5655expcom 116 . . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
5756a2d 26 . . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 7052 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
592, 58mpcom 36 . 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
601, 59mpi 15 1 |- ( ph -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   <.cop 3669   U_ciun 3965   X. cxp 4717   Fincfn 6887   CCcc 7997   0cc0 7999   sum_csu 11864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865
This theorem is referenced by:  fsumxp  11947  fisumcom2  11949
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