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Theorem fsum2d 11442
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that  B ( j ) is a function of  j. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fsum2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsum2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsum2d  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    j, k, z, A    B, k, z    D, j, k    z, C    ph, j,
k, z
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    D( z)

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3175 . 2  |-  A  C_  A
2 fsum2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3178 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 11362 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
5 iuneq1 3899 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
65sumeq1d 11373 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) D )
74, 6eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) )
83, 7imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( (/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
98imbi2d 230 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
10 sseq1 3178 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
11 sumeq1 11362 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C
)
12 iuneq1 3899 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) )
1312sumeq1d 11373 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
1411, 13eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
1510, 14imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( x  C_  A  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
1615imbi2d 230 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  A  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
17 sseq1 3178 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
18 sumeq1 11362 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C )
19 iuneq1 3899 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  U_ j  e.  w  ( { j }  X.  B )  =  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )
2019sumeq1d 11373 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D )
2118, 20eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) )
2217, 21imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
2322imbi2d 230 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
24 sseq1 3178 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
25 sumeq1 11362 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C
)
26 iuneq1 3899 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
2726sumeq1d 11373 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
2825, 27eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
2924, 28imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
3029imbi2d 230 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
31 sum0 11395 . . . . . 6  |-  sum_ z  e.  (/)  D  =  0
32 0iun 3944 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
3332sumeq1i 11370 . . . . . 6  |-  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  (/)  D
34 sum0 11395 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  0
3531, 33, 343eqtr4ri 2209 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D
36352a1i 27 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) )
37 ssun1 3298 . . . . . . . . 9  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
38 sstr 3163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
3937, 38mpan 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4039imim1i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
422ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  A  e.  Fin )
43 simpll 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ph )
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
4543, 44sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
4743, 46sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
48 simplrr 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  -.  y  e.  x )
49 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )
50 simplrl 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  x  e.  Fin )
51 biid 171 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
5241, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 51fsum2dlemstep 11441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
5352exp31 364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5453a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5540, 54syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5655expcom 116 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5756a2d 26 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 6889 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
592, 58mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
601, 59mpi 15 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    u. cun 3127    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   <.cop 3595   U_ciun 3886    X. cxp 4624   Fincfn 6739   CCcc 7808   0cc0 7810   sum_csu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
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