Theorem fsum2d 12125

Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that B ( j ) is a function of j. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fsum2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fsum2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fsum2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsum2d	|- ( ph -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   j, k, z, A   B, k, z   D, j, k   z, C   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   D( z)

Proof of Theorem fsum2d

Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3260	. 2 |- A C_ A
2		fsum2d.2	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3263	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		sumeq1 12044	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. (/) sum_ k e. B C )
5		iuneq1 4006	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. (/) ( { j } X. B ) )
6	5	sumeq1d 12055	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D )
7	4, 6	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) )
8	3, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
10		sseq1 3263	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
11		sumeq1 12044	. . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. x sum_ k e. B C )
12		iuneq1 4006	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. x ( { j } X. B ) )
13	12	sumeq1d 12055	. . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
14	11, 13	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
15	10, 14	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) ) )
17		sseq1 3263	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
18		sumeq1 12044	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C )
19		iuneq1 4006	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
20	19	sumeq1d 12055	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
21	18, 20	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) )
22	17, 21	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
24		sseq1 3263	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
25		sumeq1 12044	. . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ j e. A sum_ k e. B C )
26		iuneq1 4006	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) )
27	26	sumeq1d 12055	. . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
28	25, 27	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
29	24, 28	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
30	29	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> sum_ j e. w sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) )
31		sum0 12078	. . . . . 6 |- sum_ z e. (/) D = 0
32		0iun 4051	. . . . . . 7 |- U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/)
33	32	sumeq1i 12052	. . . . . 6 |- sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D = sum_ z e. (/) D
34		sum0 12078	. . . . . 6 |- sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = 0
35	31, 33, 34	3eqtr4ri 2266	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D
36	35	2a1i 27	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ j e. (/) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) D ) )
37		ssun1 3384	. . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
38		sstr 3248	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
40	39	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
41		fsum2d.1	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
42	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A e. Fin )
43		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph )
44		fsum2d.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
45	43, 44	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ j e. A ) -> B e. Fin )
46		fsum2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
47	43, 46	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
48		simplrr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
49		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
50		simplrl 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
51		biid 171	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
52	41, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 51	fsum2dlemstep 12124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
53	52	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
54	53	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
55	40, 54	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
56	55	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
57	56	a2d 26	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
58	9, 16, 23, 30, 36, 57	findcard2s 7149	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
59	2, 58	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
60	1, 59	mpi 15	1 |- ( ph -> sum_ j e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3211   C_ wss 3213   (/)c0 3510   {csn 3691   <.cop 3694   U_ciun 3993   X. cxp 4749   Fincfn 6977   CCcc 8127   0cc0 8129   sum_csu 12042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-ihash 11143  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-sumdc 12043

This theorem is referenced by:  fsumxp  12126  fisumcom2  12128