Theorem fsumiun 12028

Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumiun.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
fsumiun.3	|- ( ph -> Disj x e. A B )
fsumiun.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumiun	|- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   ph, k, x   x, C

Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)

Proof of Theorem fsumiun

Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3245	. 2 |- A C_ A
2		fsumiun.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3248	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( u C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		iuneq1 3981	. . . . . . . . 9 |- ( u = (/) -> U_ x e. u B = U_ x e. (/) B )
5		0iun 4026	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. (/) B = (/)
6	4, 5	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> U_ x e. u B = (/) )
7	6	sumeq1d 11917	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. (/) C )
8		sumeq1 11906	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C )
9	7, 8	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) )
10	3, 9	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = (/) -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = (/) -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) ) ) )
12		sseq1 3248	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( u C_ A <-> z C_ A ) )
13		iuneq1 3981	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> U_ x e. u B = U_ x e. z B )
14	13	sumeq1d 11917	. . . . . . 7 |- ( u = z -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. z B C )
15		sumeq1 11906	. . . . . . 7 |- ( u = z -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C )
16	14, 15	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) )
17	12, 16	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = z -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = z -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) ) )
19		sseq1 3248	. . . . . 6 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( u C_ A <-> ( z u. { w } ) C_ A ) )
20		iuneq1 3981	. . . . . . . 8 |- ( u = ( z u. { w } ) -> U_ x e. u B = U_ x e. ( z u. { w } ) B )
21	20	sumeq1d 11917	. . . . . . 7 |- ( u = ( z u. { w } ) -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C )
22		sumeq1 11906	. . . . . . 7 |- ( u = ( z u. { w } ) -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C )
23	21, 22	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) )
24	19, 23	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
26		sseq1 3248	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( u C_ A <-> A C_ A ) )
27		iuneq1 3981	. . . . . . . 8 |- ( u = A -> U_ x e. u B = U_ x e. A B )
28	27	sumeq1d 11917	. . . . . . 7 |- ( u = A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. A B C )
29		sumeq1 11906	. . . . . . 7 |- ( u = A -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )
30	28, 29	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) )
31	26, 30	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = A -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) )
32	31	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = A -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) ) )
33		sum0 11939	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) C = 0
34		sum0 11939	. . . . . 6 |- sum_ x e. (/) sum_ k e. B C = 0
35	33, 34	eqtr4i 2253	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C
36	35	2a1i 27	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) )
37		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( z u. { w } ) C_ A )
38	37	unssad 3382	. . . . . . . 8 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> z C_ A )
39	38	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) )
40		oveq1 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
41		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ z B
42		nfcsb1v 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
43		csbeq1a 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
44	41, 42, 43	cbviun 4005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { w } B = U_ z e. { w } [_ z / x ]_ B
45		vex 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- w e. _V
46		csbeq1 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> [_ z / x ]_ B = [_ w / x ]_ B )
47	45, 46	iunxsn 4045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ z e. { w } [_ z / x ]_ B = [_ w / x ]_ B
48	44, 47	eqtri 2250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. { w } B = [_ w / x ]_ B
49	48	ineq2i 3403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B )
50		fsumiun.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Disj x e. A B )
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. A B )
52	38	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> z C_ A )
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) C_ A )
54	53	unssbd 3383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> { w } C_ A )
55		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> -. w e. z )
56		disjsn 3729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z i^i { w } ) = (/) <-> -. w e. z )
57	55, 56	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
58		disjiun 4081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Disj x e. A B /\ ( z C_ A /\ { w } C_ A /\ ( z i^i { w } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
59	51, 52, 54, 57, 58	syl13anc 1273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
60	49, 59	eqtr3id 2276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B ) = (/) )
61	60	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B ) = (/) )
62		iunxun 4048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B )
63	48	uneq2i 3356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B ) = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B )
64	62, 63	eqtri 2250	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B )
65	64	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B ) )
66		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> z e. Fin )
67	45	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> w e. _V )
68	55	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> -. w e. z )
69		unsnfi 7104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Fin /\ w e. _V /\ -. w e. z ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
71		fsumiun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
72	71	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A B e. Fin )
74		ssralv 3289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin ) )
75	53, 73, 74	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
76	75	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
77		disjss1 4068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> (Disj x e. A B -> Disj x e. ( z u. { w } ) B ) )
78	53, 51, 77	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. ( z u. { w } ) B )
79	78	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. ( z u. { w } ) B )
80		iunfidisj 7136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z u. { w } ) e. Fin /\ A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin /\ Disj x e. ( z u. { w } ) B ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
81	70, 76, 79, 80	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
82		iunss1 3979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> U_ x e. ( z u. { w } ) B C_ U_ x e. A B )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B C_ U_ x e. A B )
84	83	sselda 3225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B ) -> k e. U_ x e. A B )
85		eliun 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. U_ x e. A B <-> E. x e. A k e. B )
86		fsumiun.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
87	86	rexlimdvaa 2649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E. x e. A k e. B -> C e. CC ) )
88	87	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( E. x e. A k e. B -> C e. CC ) )
89	85, 88	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( k e. U_ x e. A B -> C e. CC ) )
90	89	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. CC )
91	84, 90	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B ) -> C e. CC )
92	61, 65, 81, 91	fsumsplit 11958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
93	68, 56	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
94		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) = ( z u. { w } ) )
95		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> ( z u. { w } ) C_ A )
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. ( z u. { w } ) )
97	95, 96	sseldd 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. A )
98	86	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
99	71, 98	fsumcl 11951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
100	99	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
101	100	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
102	101	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
103	97, 102	syldan 282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> sum_ k e. B C e. CC )
104	93, 94, 70, 103	fsumsplit 11958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) )
105		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z sum_ k e. B C
106		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x C
107	42, 106	nfsum 11908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ k e. [_ z / x ]_ B C
108	43	sumeq1d 11917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ z / x ]_ B C )
109	105, 107, 108	cbvsumi 11913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- sum_ x e. { w } sum_ k e. B C = sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C
110	45	snss 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. A <-> { w } C_ A )
111	54, 110	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> w e. A )
112	100	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
113		nfcsb1v 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
114	113, 106	nfsum 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x sum_ k e. [_ w / x ]_ B C
115	114	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC
116		csbeq1a 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
117	116	sumeq1d 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
118	117	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( sum_ k e. B C e. CC <-> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) )
119	115, 118	rspc 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. A -> ( A. x e. A sum_ k e. B C e. CC -> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) )
120	111, 112, 119	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC )
121	46	sumeq1d 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
122	121	sumsn 11962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. _V /\ sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) -> sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
123	45, 120, 122	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
124	109, 123	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. { w } sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
125	124	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
126	125	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
127	104, 126	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
128	92, 127	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C <-> ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) ) )
129	40, 128	imbitrrid 156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) )
130	129	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
131	130	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
132	39, 131	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
133	132	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( z e. Fin /\ -. w e. z ) -> ( ph -> ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
134	133	a2d 26	. . . 4 |- ( ( z e. Fin /\ -. w e. z ) -> ( ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) -> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
135	11, 18, 25, 32, 36, 134	findcard2s 7072	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) )
136	2, 135	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) )
137	1, 136	mpi 15	1 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   [_csb 3125   u. cun 3196   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   U_ciun 3968  Disj wdisj 4062  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   CCcc 8020   0cc0 8022   + caddc 8025   sum_csu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  hashiun  12029