Theorem fsumiun 12118

Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumiun.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
fsumiun.3	|- ( ph -> Disj x e. A B )
fsumiun.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumiun	|- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   ph, k, x   x, C

Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)

Proof of Theorem fsumiun

Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3248	. 2 |- A C_ A
2		fsumiun.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3251	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( u C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		iuneq1 3988	. . . . . . . . 9 |- ( u = (/) -> U_ x e. u B = U_ x e. (/) B )
5		0iun 4033	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. (/) B = (/)
6	4, 5	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> U_ x e. u B = (/) )
7	6	sumeq1d 12006	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. (/) C )
8		sumeq1 11995	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C )
9	7, 8	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) )
10	3, 9	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = (/) -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = (/) -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) ) ) )
12		sseq1 3251	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( u C_ A <-> z C_ A ) )
13		iuneq1 3988	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> U_ x e. u B = U_ x e. z B )
14	13	sumeq1d 12006	. . . . . . 7 |- ( u = z -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. z B C )
15		sumeq1 11995	. . . . . . 7 |- ( u = z -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C )
16	14, 15	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) )
17	12, 16	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = z -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = z -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) ) )
19		sseq1 3251	. . . . . 6 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( u C_ A <-> ( z u. { w } ) C_ A ) )
20		iuneq1 3988	. . . . . . . 8 |- ( u = ( z u. { w } ) -> U_ x e. u B = U_ x e. ( z u. { w } ) B )
21	20	sumeq1d 12006	. . . . . . 7 |- ( u = ( z u. { w } ) -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C )
22		sumeq1 11995	. . . . . . 7 |- ( u = ( z u. { w } ) -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C )
23	21, 22	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) )
24	19, 23	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
26		sseq1 3251	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( u C_ A <-> A C_ A ) )
27		iuneq1 3988	. . . . . . . 8 |- ( u = A -> U_ x e. u B = U_ x e. A B )
28	27	sumeq1d 12006	. . . . . . 7 |- ( u = A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. A B C )
29		sumeq1 11995	. . . . . . 7 |- ( u = A -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )
30	28, 29	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) )
31	26, 30	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( u = A -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) )
32	31	imbi2d 230	. . . 4 |- ( u = A -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) ) )
33		sum0 12029	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) C = 0
34		sum0 12029	. . . . . 6 |- sum_ x e. (/) sum_ k e. B C = 0
35	33, 34	eqtr4i 2255	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C
36	35	2a1i 27	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) )
37		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( z u. { w } ) C_ A )
38	37	unssad 3386	. . . . . . . 8 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> z C_ A )
39	38	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) )
40		oveq1 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
41		nfcv 2375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ z B
42		nfcsb1v 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
43		csbeq1a 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
44	41, 42, 43	cbviun 4012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { w } B = U_ z e. { w } [_ z / x ]_ B
45		vex 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- w e. _V
46		csbeq1 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> [_ z / x ]_ B = [_ w / x ]_ B )
47	45, 46	iunxsn 4052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ z e. { w } [_ z / x ]_ B = [_ w / x ]_ B
48	44, 47	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. { w } B = [_ w / x ]_ B
49	48	ineq2i 3407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B )
50		fsumiun.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Disj x e. A B )
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. A B )
52	38	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> z C_ A )
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) C_ A )
54	53	unssbd 3387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> { w } C_ A )
55		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> -. w e. z )
56		disjsn 3735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z i^i { w } ) = (/) <-> -. w e. z )
57	55, 56	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
58		disjiun 4088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Disj x e. A B /\ ( z C_ A /\ { w } C_ A /\ ( z i^i { w } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
59	51, 52, 54, 57, 58	syl13anc 1276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
60	49, 59	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B ) = (/) )
61	60	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B ) = (/) )
62		iunxun 4055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B )
63	48	uneq2i 3360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B ) = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B )
64	62, 63	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B )
65	64	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B ) )
66		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> z e. Fin )
67	45	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> w e. _V )
68	55	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> -. w e. z )
69		unsnfi 7154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Fin /\ w e. _V /\ -. w e. z ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
71		fsumiun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
72	71	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A B e. Fin )
74		ssralv 3292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin ) )
75	53, 73, 74	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
76	75	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
77		disjss1 4075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> (Disj x e. A B -> Disj x e. ( z u. { w } ) B ) )
78	53, 51, 77	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. ( z u. { w } ) B )
79	78	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. ( z u. { w } ) B )
80		iunfidisj 7188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z u. { w } ) e. Fin /\ A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin /\ Disj x e. ( z u. { w } ) B ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
81	70, 76, 79, 80	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
82		iunss1 3986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> U_ x e. ( z u. { w } ) B C_ U_ x e. A B )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B C_ U_ x e. A B )
84	83	sselda 3228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B ) -> k e. U_ x e. A B )
85		eliun 3979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. U_ x e. A B <-> E. x e. A k e. B )
86		fsumiun.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
87	86	rexlimdvaa 2652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E. x e. A k e. B -> C e. CC ) )
88	87	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( E. x e. A k e. B -> C e. CC ) )
89	85, 88	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( k e. U_ x e. A B -> C e. CC ) )
90	89	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. CC )
91	84, 90	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B ) -> C e. CC )
92	61, 65, 81, 91	fsumsplit 12048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
93	68, 56	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
94		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) = ( z u. { w } ) )
95		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> ( z u. { w } ) C_ A )
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. ( z u. { w } ) )
97	95, 96	sseldd 3229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. A )
98	86	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
99	71, 98	fsumcl 12041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
100	99	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
101	100	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
102	101	r19.21bi 2621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
103	97, 102	syldan 282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> sum_ k e. B C e. CC )
104	93, 94, 70, 103	fsumsplit 12048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) )
105		nfcv 2375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z sum_ k e. B C
106		nfcv 2375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x C
107	42, 106	nfsum 11997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ k e. [_ z / x ]_ B C
108	43	sumeq1d 12006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ z / x ]_ B C )
109	105, 107, 108	cbvsumi 12002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- sum_ x e. { w } sum_ k e. B C = sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C
110	45	snss 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. A <-> { w } C_ A )
111	54, 110	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> w e. A )
112	100	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
113		nfcsb1v 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
114	113, 106	nfsum 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x sum_ k e. [_ w / x ]_ B C
115	114	nfel1 2386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC
116		csbeq1a 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
117	116	sumeq1d 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
118	117	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( sum_ k e. B C e. CC <-> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) )
119	115, 118	rspc 2905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. A -> ( A. x e. A sum_ k e. B C e. CC -> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) )
120	111, 112, 119	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC )
121	46	sumeq1d 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
122	121	sumsn 12052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. _V /\ sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) -> sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
123	45, 120, 122	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
124	109, 123	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. { w } sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
125	124	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
126	125	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
127	104, 126	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
128	92, 127	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C <-> ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) ) )
129	40, 128	imbitrrid 156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) )
130	129	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
131	130	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
132	39, 131	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
133	132	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( z e. Fin /\ -. w e. z ) -> ( ph -> ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
134	133	a2d 26	. . . 4 |- ( ( z e. Fin /\ -. w e. z ) -> ( ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) -> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
135	11, 18, 25, 32, 36, 134	findcard2s 7122	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) )
136	2, 135	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) )
137	1, 136	mpi 15	1 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   [_csb 3128   u. cun 3199   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   U_ciun 3975  Disj wdisj 4069  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8090   0cc0 8092   + caddc 8095   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  hashiun  12119