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Theorem fsumiun 11374
Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 |- ( ph -> A e. Fin )
fsumiun.2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
fsumiun.3 |- ( ph -> Disj x e. A B )
fsumiun.4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
Assertion
Ref Expression
fsumiun |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )
Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   ph, k, x   x, C
Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)
Proof of Theorem fsumiun
Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3148 . 2 |- A C_ A
2 fsumiun.1 . . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3 sseq1 3151 . . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( u C_ A <-> (/) C_ A ) )
4 iuneq1 3862 . . . . . . . . 9 |- ( u = (/) -> U_ x e. u B = U_ x e. (/) B )
5 0iun 3906 . . . . . . . . 9 |- U_ x e. (/) B = (/)
64, 5eqtrdi 2206 . . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> U_ x e. u B = (/) )
76sumeq1d 11263 . . . . . . 7 |- ( u = (/) -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. (/) C )
8 sumeq1 11252 . . . . . . 7 |- ( u = (/) -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C )
97, 8eqeq12d 2172 . . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) )
103, 9imbi12d 233 . . . . 5 |- ( u = (/) -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) ) )
1110imbi2d 229 . . . 4 |- ( u = (/) -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) ) ) )
12 sseq1 3151 . . . . . 6 |- ( u = z -> ( u C_ A <-> z C_ A ) )
13 iuneq1 3862 . . . . . . . 8 |- ( u = z -> U_ x e. u B = U_ x e. z B )
1413sumeq1d 11263 . . . . . . 7 |- ( u = z -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. z B C )
15 sumeq1 11252 . . . . . . 7 |- ( u = z -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C )
1614, 15eqeq12d 2172 . . . . . 6 |- ( u = z -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) )
1712, 16imbi12d 233 . . . . 5 |- ( u = z -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) )
1817imbi2d 229 . . . 4 |- ( u = z -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) ) )
19 sseq1 3151 . . . . . 6 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( u C_ A <-> ( z u. { w } ) C_ A ) )
20 iuneq1 3862 . . . . . . . 8 |- ( u = ( z u. { w } ) -> U_ x e. u B = U_ x e. ( z u. { w } ) B )
2120sumeq1d 11263 . . . . . . 7 |- ( u = ( z u. { w } ) -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C )
22 sumeq1 11252 . . . . . . 7 |- ( u = ( z u. { w } ) -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C )
2321, 22eqeq12d 2172 . . . . . 6 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) )
2419, 23imbi12d 233 . . . . 5 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
2524imbi2d 229 . . . 4 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
26 sseq1 3151 . . . . . 6 |- ( u = A -> ( u C_ A <-> A C_ A ) )
27 iuneq1 3862 . . . . . . . 8 |- ( u = A -> U_ x e. u B = U_ x e. A B )
2827sumeq1d 11263 . . . . . . 7 |- ( u = A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. A B C )
29 sumeq1 11252 . . . . . . 7 |- ( u = A -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )
3028, 29eqeq12d 2172 . . . . . 6 |- ( u = A -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) )
3126, 30imbi12d 233 . . . . 5 |- ( u = A -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) )
3231imbi2d 229 . . . 4 |- ( u = A -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) ) )
33 sum0 11285 . . . . . 6 |- sum_ k e. (/) C = 0
34 sum0 11285 . . . . . 6 |- sum_ x e. (/) sum_ k e. B C = 0
3533, 34eqtr4i 2181 . . . . 5 |- sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C
36352a1i 27 . . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) )
37 id 19 . . . . . . . . 9 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( z u. { w } ) C_ A )
3837unssad 3284 . . . . . . . 8 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> z C_ A )
3938imim1i 60 . . . . . . 7 |- ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) )
40 oveq1 5831 . . . . . . . . . 10 |- ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
41 nfcv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ z B
42 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
43 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
4441, 42, 43cbviun 3886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { w } B = U_ z e. { w } [_ z / x ]_ B
45 vex 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- w e. _V
46 csbeq1 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> [_ z / x ]_ B = [_ w / x ]_ B )
4745, 46iunxsn 3925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ z e. { w } [_ z / x ]_ B = [_ w / x ]_ B
4844, 47eqtri 2178 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. { w } B = [_ w / x ]_ B
4948ineq2i 3305 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B )
50 fsumiun.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Disj x e. A B )
5150ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. A B )
5238adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> z C_ A )
53 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) C_ A )
5453unssbd 3285 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> { w } C_ A )
55 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> -. w e. z )
56 disjsn 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z i^i { w } ) = (/) <-> -. w e. z )
5755, 56sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
58 disjiun 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Disj x e. A B /\ ( z C_ A /\ { w } C_ A /\ ( z i^i { w } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
5951, 52, 54, 57, 58syl13anc 1222 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
6049, 59eqtr3id 2204 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B ) = (/) )
6160adantlrl 474 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B ) = (/) )
62 iunxun 3928 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B )
6348uneq2i 3258 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B ) = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B )
6462, 63eqtri 2178 . . . . . . . . . . . . 13 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B )
6564a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B ) )
66 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> z e. Fin )
6745a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> w e. _V )
6855adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> -. w e. z )
69 unsnfi 6863 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Fin /\ w e. _V /\ -. w e. z ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
71 fsumiun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
7271ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
7372ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A B e. Fin )
74 ssralv 3192 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin ) )
7553, 73, 74sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
7675adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
77 disjss1 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> (Disj x e. A B -> Disj x e. ( z u. { w } ) B ) )
7853, 51, 77sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. ( z u. { w } ) B )
7978adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. ( z u. { w } ) B )
80 iunfidisj 6890 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z u. { w } ) e. Fin /\ A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin /\ Disj x e. ( z u. { w } ) B ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
8170, 76, 79, 80syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
82 iunss1 3860 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> U_ x e. ( z u. { w } ) B C_ U_ x e. A B )
8382adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B C_ U_ x e. A B )
8483sselda 3128 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B ) -> k e. U_ x e. A B )
85 eliun 3853 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. U_ x e. A B <-> E. x e. A k e. B )
86 fsumiun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
8786rexlimdvaa 2575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E. x e. A k e. B -> C e. CC ) )
8887ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( E. x e. A k e. B -> C e. CC ) )
8985, 88syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( k e. U_ x e. A B -> C e. CC ) )
9089imp 123 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. CC )
9184, 90syldan 280 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B ) -> C e. CC )
9261, 65, 81, 91fsumsplit 11304 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
9368, 56sylibr 133 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
94 eqidd 2158 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) = ( z u. { w } ) )
95 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> ( z u. { w } ) C_ A )
96 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. ( z u. { w } ) )
9795, 96sseldd 3129 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. A )
9886anassrs 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
9971, 98fsumcl 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
10099ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
101100ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
102101r19.21bi 2545 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
10397, 102syldan 280 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> sum_ k e. B C e. CC )
10493, 94, 70, 103fsumsplit 11304 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) )
105 nfcv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z sum_ k e. B C
106 nfcv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x C
10742, 106nfsum 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ k e. [_ z / x ]_ B C
10843sumeq1d 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ z / x ]_ B C )
109105, 107, 108cbvsumi 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- sum_ x e. { w } sum_ k e. B C = sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C
11045snss 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. A <-> { w } C_ A )
11154, 110sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> w e. A )
112100ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
113 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
114113, 106nfsum 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x sum_ k e. [_ w / x ]_ B C
115114nfel1 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC
116 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
117116sumeq1d 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
118117eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( sum_ k e. B C e. CC <-> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) )
119115, 118rspc 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. A -> ( A. x e. A sum_ k e. B C e. CC -> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) )
120111, 112, 119sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC )
12146sumeq1d 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
122121sumsn 11308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. _V /\ sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) -> sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
12345, 120, 122sylancr 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
124109, 123syl5eq 2202 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. { w } sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
125124oveq2d 5840 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
126125adantlrl 474 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
127104, 126eqtrd 2190 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
12892, 127eqeq12d 2172 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C <-> ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) ) )
12940, 128syl5ibr 155 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) )
130129ex 114 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
131130a2d 26 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
13239, 131syl5 32 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. Fin /\ -. w e. z ) ) -> ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
133132expcom 115 . . . . 5 |- ( ( z e. Fin /\ -. w e. z ) -> ( ph -> ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
134133a2d 26 . . . 4 |- ( ( z e. Fin /\ -. w e. z ) -> ( ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) -> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
13511, 18, 25, 32, 36, 134findcard2s 6835 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) )
1362, 135mpcom 36 . 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) )
1371, 136mpi 15 1 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   [_csb 3031   u. cun 3100   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   U_ciun 3849  Disj wdisj 3942  (class class class)co 5824   Fincfn 6685   CCcc 7730   0cc0 7732   + caddc 7735   sum_csu 11250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-sumdc 11251
This theorem is referenced by:  hashiun  11375
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