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Theorem iuncld 12298
Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
iuncld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iuncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, J    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    X( x)

Proof of Theorem iuncld
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3826 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
21eleq1d 2208 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J
)  <->  U_ x  e.  (/)  B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3 iuneq1 3826 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
43eleq1d 2208 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
) )
5 iuneq1 3826 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
65eleq1d 2208 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  (
Clsd `  J )
) )
7 iuneq1 3826 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
87eleq1d 2208 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
) )
9 0iun 3870 . . . 4  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
10 0cld 12295 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
119, 10eqeltrid 2226 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  (
Clsd `  J )
)
12113ad2ant1 1002 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  (
Clsd `  J )
)
13 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)
14 nfcsb1v 3035 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
15 csbeq1a 3012 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1614, 15iunxsngf 3890 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1716elv 2690 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
18 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
1918eldifad 3082 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
20 simpll3 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J ) )
2114nfel1 2292 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J )
2215eleq1d 2208 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  (
Clsd `  J )
) )
2321, 22rspc 2783 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
2419, 20, 23sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J ) )
2517, 24eqeltrid 2226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  U_ x  e.  {
z } B  e.  ( Clsd `  J
) )
2625adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e. 
{ z } B  e.  ( Clsd `  J
) )
27 iunxun 3892 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
28 uncld 12296 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e.  ( Clsd `  J
) )
2927, 28eqeltrid 2226 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) )
3013, 26, 29syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) )
3130ex 114 . 2  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
32 simp2 982 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  e.  Fin )
332, 4, 6, 8, 12, 31, 32findcard2sd 6786 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   [_csb 3003    \ cdif 3068    u. cun 3069    C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   U.cuni 3736   U_ciun 3813   ` cfv 5123   Fincfn 6634   Topctop 12178   Clsdccld 12275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-top 12179  df-cld 12278
This theorem is referenced by:  unicld  12299
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