Theorem iuncld 14294

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
iuncld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iuncld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   X( x)

Proof of Theorem iuncld

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 3926	. . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
2	1	eleq1d 2262	. 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) ) )
3		iuneq1 3926	. . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
4	3	eleq1d 2262	. 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) )
5		iuneq1 3926	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
6	5	eleq1d 2262	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
7		iuneq1 3926	. . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
8	7	eleq1d 2262	. 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) )
9		0iun 3971	. . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10		0cld 14291	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )
11	9, 10	eqeltrid 2280	. . 3 |- ( J e. Top -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
12	11	3ad2ant1 1020	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) )
14		nfcsb1v 3114	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
15		csbeq1a 3090	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
16	14, 15	iunxsngf 3991	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
17	16	elv 2764	. . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
18		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
19	18	eldifad 3165	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
20		simpll3 1040	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) )
21	14	nfel1 2347	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J )
22	15	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. ( Clsd ` J ) <-> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
23	21, 22	rspc 2859	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
24	19, 20, 23	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) )
25	17, 24	eqeltrid 2280	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
27		iunxun 3993	. . . . 5 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
28		uncld 14292	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. ( Clsd ` J ) )
29	27, 28	eqeltrid 2280	. . . 4 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
30	13, 26, 29	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
31	30	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
32		simp2 1000	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. Fin )
33	2, 4, 6, 8, 12, 31, 32	findcard2sd 6950	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   [_csb 3081   \ cdif 3151   u. cun 3152   C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619   U.cuni 3836   U_ciun 3913   ` cfv 5255   Fincfn 6796   Topctop 14176   Clsdccld 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799  df-top 14177  df-cld 14274

This theorem is referenced by:  unicld  14295