Theorem iuncld 14283

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
iuncld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iuncld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   X( x)

Proof of Theorem iuncld

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 3925	. . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
2	1	eleq1d 2262	. 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) ) )
3		iuneq1 3925	. . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
4	3	eleq1d 2262	. 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) )
5		iuneq1 3925	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
6	5	eleq1d 2262	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
7		iuneq1 3925	. . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
8	7	eleq1d 2262	. 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) )
9		0iun 3970	. . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10		0cld 14280	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )
11	9, 10	eqeltrid 2280	. . 3 |- ( J e. Top -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
12	11	3ad2ant1 1020	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) )
14		nfcsb1v 3113	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
15		csbeq1a 3089	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
16	14, 15	iunxsngf 3990	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
17	16	elv 2764	. . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
18		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
19	18	eldifad 3164	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
20		simpll3 1040	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) )
21	14	nfel1 2347	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J )
22	15	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. ( Clsd ` J ) <-> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
23	21, 22	rspc 2858	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
24	19, 20, 23	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) )
25	17, 24	eqeltrid 2280	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
27		iunxun 3992	. . . . 5 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
28		uncld 14281	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. ( Clsd ` J ) )
29	27, 28	eqeltrid 2280	. . . 4 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
30	13, 26, 29	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
31	30	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
32		simp2 1000	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. Fin )
33	2, 4, 6, 8, 12, 31, 32	findcard2sd 6948	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   [_csb 3080   \ cdif 3150   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   U.cuni 3835   U_ciun 3912   ` cfv 5254   Fincfn 6794   Topctop 14165   Clsdccld 14260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-top 14166  df-cld 14263

This theorem is referenced by:  unicld  14284