ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iuncld Unicode version

Theorem iuncld 12830
Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
iuncld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iuncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, J    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    X( x)

Proof of Theorem iuncld
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3884 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
21eleq1d 2239 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J
)  <->  U_ x  e.  (/)  B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3 iuneq1 3884 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
43eleq1d 2239 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
) )
5 iuneq1 3884 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
65eleq1d 2239 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  (
Clsd `  J )
) )
7 iuneq1 3884 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
87eleq1d 2239 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
) )
9 0iun 3928 . . . 4  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
10 0cld 12827 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
119, 10eqeltrid 2257 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  (
Clsd `  J )
)
12113ad2ant1 1013 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  (
Clsd `  J )
)
13 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)
14 nfcsb1v 3082 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
15 csbeq1a 3058 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1614, 15iunxsngf 3948 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1716elv 2734 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
18 simprr 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
1918eldifad 3132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
20 simpll3 1033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J ) )
2114nfel1 2323 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J )
2215eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  (
Clsd `  J )
) )
2321, 22rspc 2828 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
2419, 20, 23sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J ) )
2517, 24eqeltrid 2257 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  U_ x  e.  {
z } B  e.  ( Clsd `  J
) )
2625adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e. 
{ z } B  e.  ( Clsd `  J
) )
27 iunxun 3950 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
28 uncld 12828 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e.  ( Clsd `  J
) )
2927, 28eqeltrid 2257 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) )
3013, 26, 29syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) )
3130ex 114 . 2  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
32 simp2 993 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  e.  Fin )
332, 4, 6, 8, 12, 31, 32findcard2sd 6866 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   [_csb 3049    \ cdif 3118    u. cun 3119    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3581   U.cuni 3794   U_ciun 3871   ` cfv 5196   Fincfn 6714   Topctop 12710   Clsdccld 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-er 6509  df-en 6715  df-fin 6717  df-top 12711  df-cld 12810
This theorem is referenced by:  unicld  12831
  Copyright terms: Public domain W3C validator