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Theorem iuncld 13618
Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
iuncld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iuncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, J    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    X( x)

Proof of Theorem iuncld
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3900 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
21eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J
)  <->  U_ x  e.  (/)  B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3 iuneq1 3900 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
43eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
) )
5 iuneq1 3900 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
65eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  (
Clsd `  J )
) )
7 iuneq1 3900 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
87eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  ( Clsd `  J )  <->  U_ x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
) )
9 0iun 3945 . . . 4  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
10 0cld 13615 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
119, 10eqeltrid 2264 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  (
Clsd `  J )
)
12113ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  (
Clsd `  J )
)
13 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)
14 nfcsb1v 3091 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
15 csbeq1a 3067 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1614, 15iunxsngf 3965 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1716elv 2742 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
18 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
1918eldifad 3141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
20 simpll3 1038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J ) )
2114nfel1 2330 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J )
2215eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  (
Clsd `  J )
) )
2321, 22rspc 2836 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
2419, 20, 23sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  ( Clsd `  J ) )
2517, 24eqeltrid 2264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  U_ x  e.  {
z } B  e.  ( Clsd `  J
) )
2625adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e. 
{ z } B  e.  ( Clsd `  J
) )
27 iunxun 3967 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
28 uncld 13616 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e.  ( Clsd `  J
) )
2927, 28eqeltrid 2264 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) )
3013, 26, 29syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) )
3130ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  e.  ( Clsd `  J )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
32 simp2 998 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  e.  Fin )
332, 4, 6, 8, 12, 31, 32findcard2sd 6892 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738   [_csb 3058    \ cdif 3127    u. cun 3128    C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   U.cuni 3810   U_ciun 3887   ` cfv 5217   Fincfn 6740   Topctop 13500   Clsdccld 13595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-er 6535  df-en 6741  df-fin 6743  df-top 13501  df-cld 13598
This theorem is referenced by:  unicld  13619
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