Theorem iuncld 14789

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
iuncld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iuncld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   X( x)

Proof of Theorem iuncld

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 3978	. . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
2	1	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) ) )
3		iuneq1 3978	. . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
4	3	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) )
5		iuneq1 3978	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
6	5	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
7		iuneq1 3978	. . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
8	7	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) )
9		0iun 4023	. . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10		0cld 14786	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )
11	9, 10	eqeltrid 2316	. . 3 |- ( J e. Top -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
12	11	3ad2ant1 1042	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) )
14		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
15		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
16	14, 15	iunxsngf 4043	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
17	16	elv 2803	. . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
18		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
19	18	eldifad 3208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
20		simpll3 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) )
21	14	nfel1 2383	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J )
22	15	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. ( Clsd ` J ) <-> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
23	21, 22	rspc 2901	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
24	19, 20, 23	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) )
25	17, 24	eqeltrid 2316	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
27		iunxun 4045	. . . . 5 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
28		uncld 14787	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. ( Clsd ` J ) )
29	27, 28	eqeltrid 2316	. . . 4 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
30	13, 26, 29	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
31	30	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
32		simp2 1022	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. Fin )
33	2, 4, 6, 8, 12, 31, 32	findcard2sd 7054	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   [_csb 3124   \ cdif 3194   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   U.cuni 3888   U_ciun 3965   ` cfv 5318   Fincfn 6887   Topctop 14671   Clsdccld 14766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890  df-top 14672  df-cld 14769

This theorem is referenced by:  unicld  14790