Theorem iuncld 14351

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
iuncld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iuncld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   X( x)

Proof of Theorem iuncld

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 3929	. . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
2	1	eleq1d 2265	. 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) ) )
3		iuneq1 3929	. . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
4	3	eleq1d 2265	. 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) )
5		iuneq1 3929	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
6	5	eleq1d 2265	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
7		iuneq1 3929	. . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
8	7	eleq1d 2265	. 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) )
9		0iun 3974	. . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10		0cld 14348	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )
11	9, 10	eqeltrid 2283	. . 3 |- ( J e. Top -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
12	11	3ad2ant1 1020	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) )
14		nfcsb1v 3117	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
15		csbeq1a 3093	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
16	14, 15	iunxsngf 3994	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
17	16	elv 2767	. . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
18		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
19	18	eldifad 3168	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
20		simpll3 1040	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) )
21	14	nfel1 2350	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J )
22	15	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. ( Clsd ` J ) <-> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
23	21, 22	rspc 2862	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
24	19, 20, 23	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) )
25	17, 24	eqeltrid 2283	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
27		iunxun 3996	. . . . 5 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
28		uncld 14349	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. ( Clsd ` J ) )
29	27, 28	eqeltrid 2283	. . . 4 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
30	13, 26, 29	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
31	30	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
32		simp2 1000	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. Fin )
33	2, 4, 6, 8, 12, 31, 32	findcard2sd 6953	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [_csb 3084   \ cdif 3154   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   U.cuni 3839   U_ciun 3916   ` cfv 5258   Fincfn 6799   Topctop 14233   Clsdccld 14328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-top 14234  df-cld 14331

This theorem is referenced by:  unicld  14352