Theorem iuncld 12755

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
iuncld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iuncld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   X( x)

Proof of Theorem iuncld

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 3879	. . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
2	1	eleq1d 2235	. 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) ) )
3		iuneq1 3879	. . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
4	3	eleq1d 2235	. 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) )
5		iuneq1 3879	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
6	5	eleq1d 2235	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
7		iuneq1 3879	. . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
8	7	eleq1d 2235	. 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. ( Clsd ` J ) <-> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) )
9		0iun 3923	. . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10		0cld 12752	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )
11	9, 10	eqeltrid 2253	. . 3 |- ( J e. Top -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
12	11	3ad2ant1 1008	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. (/) B e. ( Clsd ` J ) )
13		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) )
14		nfcsb1v 3078	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
15		csbeq1a 3054	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
16	14, 15	iunxsngf 3943	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
17	16	elv 2730	. . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
18		simprr 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
19	18	eldifad 3127	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
20		simpll3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) )
21	14	nfel1 2319	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J )
22	15	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. ( Clsd ` J ) <-> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
23	21, 22	rspc 2824	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) ) )
24	19, 20, 23	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / x ]_ B e. ( Clsd ` J ) )
25	17, 24	eqeltrid 2253	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
26	25	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) )
27		iunxun 3945	. . . . 5 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
28		uncld 12753	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. ( Clsd ` J ) )
29	27, 28	eqeltrid 2253	. . . 4 |- ( ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) /\ U_ x e. { z } B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
30	13, 26, 29	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) )
31	30	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. ( Clsd ` J ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. ( Clsd ` J ) ) )
32		simp2 988	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. Fin )
33	2, 4, 6, 8, 12, 31, 32	findcard2sd 6858	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   [_csb 3045   \ cdif 3113   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   U.cuni 3789   U_ciun 3866   ` cfv 5188   Fincfn 6706   Topctop 12635   Clsdccld 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-top 12636  df-cld 12735

This theorem is referenced by:  unicld  12756