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Theorem iunfidisj 6890
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that B depends on x, i.e. can be thought of as B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3862 . . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
21eleq1d 2226 . 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. (/) B e. Fin ) )
3 iuneq1 3862 . . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
43eleq1d 2226 . 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. y B e. Fin ) )
5 iuneq1 3862 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
65eleq1d 2226 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
7 iuneq1 3862 . . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
87eleq1d 2226 . 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. A B e. Fin ) )
9 0iun 3906 . . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10 0fin 6829 . . . 4 |- (/) e. Fin
119, 10eqeltri 2230 . . 3 |- U_ x e. (/) B e. Fin
1211a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. (/) B e. Fin )
13 iunxun 3928 . . . 4 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
14 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. y B e. Fin )
15 nfcsb1v 3064 . . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
16 csbeq1a 3040 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 3926 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
1817elv 2716 . . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
19 simplrr 526 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
2019eldifad 3113 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. A )
21 simpll2 1022 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> A. x e. A B e. Fin )
2215nfel1 2310 . . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. Fin
2316eleq1d 2226 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. Fin <-> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2422, 23rspc 2810 . . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. Fin -> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> [_ z / x ]_ B e. Fin )
2618, 25eqeltrid 2244 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. { z } B e. Fin )
27 simpll3 1023 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> Disj x e. A B )
28 simplrl 525 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> y C_ A )
2920snssd 3701 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> { z } C_ A )
3019eldifbd 3114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> -. z e. y )
31 disjsn 3621 . . . . . . 7 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3230, 31sylibr 133 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
33 disjiun 3960 . . . . . 6 |- ( (Disj x e. A B /\ ( y C_ A /\ { z } C_ A /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1222 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
35 unfidisj 6866 . . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. Fin /\ U_ x e. { z } B e. Fin /\ ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1220 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3713, 36eqeltrid 2244 . . 3 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin )
3837ex 114 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. Fin -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
39 simp1 982 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> A e. Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6836 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   [_csb 3031   \ cdif 3099   u. cun 3100   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   U_ciun 3849  Disj wdisj 3942   Fincfn 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-er 6480  df-en 6686  df-fin 6688
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