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Theorem iunfidisj 6655
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3743 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
21eleq1d 2156 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
3 iuneq1 3743 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
43eleq1d 2156 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
5 iuneq1 3743 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
65eleq1d 2156 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
7 iuneq1 3743 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
87eleq1d 2156 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
9 0iun 3787 . . . 4  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
10 0fin 6600 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
119, 10eqeltri 2160 . . 3  |-  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin
1211a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin )
13 iunxun 3809 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
14 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )
15 nfcsb1v 2963 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
16 csbeq1a 2941 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 3807 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1817elv 2623 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
19 simplrr 503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
2019eldifad 3010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
z  e.  A )
21 simpll2 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
2215nfel1 2239 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
2316eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
2422, 23rspc 2716 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
2520, 21, 24sylc 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
2618, 25syl5eqel 2174 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
27 simpll3 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> Disj  x  e.  A  B )
28 simplrl 502 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
y  C_  A )
2920snssd 3582 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  { z }  C_  A )
3019eldifbd 3011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y
)
31 disjsn 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
3230, 31sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
33 disjiun 3840 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A  /\  ( y  i^i 
{ z } )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B
)  =  (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1176 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B
)  =  (/) )
35 unfidisj 6632 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin  /\  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B )  =  (/) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B
)  e.  Fin )
3713, 36syl5eqel 2174 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
3837ex 113 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
39 simp1 943 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  A  e.  Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6607 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   [_csb 2933    \ cdif 2996    u. cun 2997    i^i cin 2998    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   U_ciun 3730  Disj wdisj 3822   Fincfn 6457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-disj 3823  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6292  df-en 6458  df-fin 6460
This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  10828  fisumcom2  10832  fsumiun  10871  hashiun  10872  hash2iun  10873
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