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Theorem iunfidisj 7144
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that B depends on x, i.e. can be thought of as B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3983 . . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
21eleq1d 2300 . 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. (/) B e. Fin ) )
3 iuneq1 3983 . . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
43eleq1d 2300 . 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. y B e. Fin ) )
5 iuneq1 3983 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
65eleq1d 2300 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
7 iuneq1 3983 . . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
87eleq1d 2300 . 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. A B e. Fin ) )
9 0iun 4028 . . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10 0fi 7072 . . . 4 |- (/) e. Fin
119, 10eqeltri 2304 . . 3 |- U_ x e. (/) B e. Fin
1211a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. (/) B e. Fin )
13 iunxun 4050 . . . 4 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
14 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. y B e. Fin )
15 nfcsb1v 3160 . . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
16 csbeq1a 3136 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 4048 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
1817elv 2806 . . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
19 simplrr 538 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
2019eldifad 3211 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. A )
21 simpll2 1063 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> A. x e. A B e. Fin )
2215nfel1 2385 . . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. Fin
2316eleq1d 2300 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. Fin <-> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2422, 23rspc 2904 . . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. Fin -> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> [_ z / x ]_ B e. Fin )
2618, 25eqeltrid 2318 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. { z } B e. Fin )
27 simpll3 1064 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> Disj x e. A B )
28 simplrl 537 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> y C_ A )
2920snssd 3818 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> { z } C_ A )
3019eldifbd 3212 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> -. z e. y )
31 disjsn 3731 . . . . . . 7 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3230, 31sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
33 disjiun 4083 . . . . . 6 |- ( (Disj x e. A B /\ ( y C_ A /\ { z } C_ A /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1275 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
35 unfidisj 7113 . . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. Fin /\ U_ x e. { z } B e. Fin /\ ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1273 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3713, 36eqeltrid 2318 . . 3 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin )
3837ex 115 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. Fin -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
39 simp1 1023 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> A e. Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 7079 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   [_csb 3127   \ cdif 3197   u. cun 3198   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   U_ciun 3970  Disj wdisj 4064   Fincfn 6908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911
This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11994  fisumcom2  11998  fsumiun  12037  hashiun  12038  hash2iun  12039  fprod2dlemstep  12182  fprodcom2fi  12186
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