Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunfidisj Unicode version

Theorem iunfidisj 6827
 Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that depends on , i.e. can be thought of as . (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj Disj
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3821 . . 3
21eleq1d 2206 . 2
3 iuneq1 3821 . . 3
43eleq1d 2206 . 2
5 iuneq1 3821 . . 3
65eleq1d 2206 . 2
7 iuneq1 3821 . . 3
87eleq1d 2206 . 2
9 0iun 3865 . . . 4
10 0fin 6771 . . . 4
119, 10eqeltri 2210 . . 3
1211a1i 9 . 2 Disj
13 iunxun 3887 . . . 4
14 simpr 109 . . . . 5 Disj
15 nfcsb1v 3030 . . . . . . . 8
16 csbeq1a 3007 . . . . . . . 8
1715, 16iunxsngf 3885 . . . . . . 7
1817elv 2685 . . . . . 6
19 simplrr 525 . . . . . . . 8 Disj
2019eldifad 3077 . . . . . . 7 Disj
21 simpll2 1021 . . . . . . 7 Disj
2215nfel1 2290 . . . . . . . 8
2316eleq1d 2206 . . . . . . . 8
2422, 23rspc 2778 . . . . . . 7
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6 Disj
2618, 25eqeltrid 2224 . . . . 5 Disj
27 simpll3 1022 . . . . . 6 Disj Disj
28 simplrl 524 . . . . . 6 Disj
2920snssd 3660 . . . . . 6 Disj
3019eldifbd 3078 . . . . . . 7 Disj
31 disjsn 3580 . . . . . . 7
3230, 31sylibr 133 . . . . . 6 Disj
33 disjiun 3919 . . . . . 6 Disj
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1218 . . . . 5 Disj
35 unfidisj 6803 . . . . 5
3614, 26, 34, 35syl3anc 1216 . . . 4 Disj
3713, 36eqeltrid 2224 . . 3 Disj
3837ex 114 . 2 Disj
39 simp1 981 . 2 Disj
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6778 1 Disj
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414  cvv 2681  csb 2998   cdif 3063   cun 3064   cin 3065   wss 3066  c0 3358  csn 3522  ciun 3808  Disj wdisj 3901  cfn 6627 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-disj 3902  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630 This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11196  fisumcom2  11200  fsumiun  11239  hashiun  11240  hash2iun  11241
 Copyright terms: Public domain W3C validator