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Theorem iunfidisj 6842
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that B depends on x, i.e. can be thought of as B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3834 . . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
21eleq1d 2209 . 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. (/) B e. Fin ) )
3 iuneq1 3834 . . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
43eleq1d 2209 . 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. y B e. Fin ) )
5 iuneq1 3834 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
65eleq1d 2209 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
7 iuneq1 3834 . . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
87eleq1d 2209 . 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. A B e. Fin ) )
9 0iun 3878 . . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10 0fin 6786 . . . 4 |- (/) e. Fin
119, 10eqeltri 2213 . . 3 |- U_ x e. (/) B e. Fin
1211a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. (/) B e. Fin )
13 iunxun 3900 . . . 4 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
14 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. y B e. Fin )
15 nfcsb1v 3040 . . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
16 csbeq1a 3016 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 3898 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
1817elv 2693 . . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
19 simplrr 526 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
2019eldifad 3087 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. A )
21 simpll2 1022 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> A. x e. A B e. Fin )
2215nfel1 2293 . . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. Fin
2316eleq1d 2209 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. Fin <-> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2422, 23rspc 2787 . . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. Fin -> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> [_ z / x ]_ B e. Fin )
2618, 25eqeltrid 2227 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. { z } B e. Fin )
27 simpll3 1023 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> Disj x e. A B )
28 simplrl 525 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> y C_ A )
2920snssd 3673 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> { z } C_ A )
3019eldifbd 3088 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> -. z e. y )
31 disjsn 3593 . . . . . . 7 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3230, 31sylibr 133 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
33 disjiun 3932 . . . . . 6 |- ( (Disj x e. A B /\ ( y C_ A /\ { z } C_ A /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1219 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
35 unfidisj 6818 . . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. Fin /\ U_ x e. { z } B e. Fin /\ ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1217 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3713, 36eqeltrid 2227 . . 3 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin )
3837ex 114 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. Fin -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
39 simp1 982 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> A e. Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6793 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   [_csb 3007   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   U_ciun 3821  Disj wdisj 3914   Fincfn 6642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645
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