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Theorem iunfidisj 7012
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that B depends on x, i.e. can be thought of as B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3929 . . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
21eleq1d 2265 . 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. (/) B e. Fin ) )
3 iuneq1 3929 . . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
43eleq1d 2265 . 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. y B e. Fin ) )
5 iuneq1 3929 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
65eleq1d 2265 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
7 iuneq1 3929 . . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
87eleq1d 2265 . 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. A B e. Fin ) )
9 0iun 3974 . . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10 0fin 6945 . . . 4 |- (/) e. Fin
119, 10eqeltri 2269 . . 3 |- U_ x e. (/) B e. Fin
1211a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. (/) B e. Fin )
13 iunxun 3996 . . . 4 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
14 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. y B e. Fin )
15 nfcsb1v 3117 . . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
16 csbeq1a 3093 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 3994 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
1817elv 2767 . . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
19 simplrr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
2019eldifad 3168 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. A )
21 simpll2 1039 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> A. x e. A B e. Fin )
2215nfel1 2350 . . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. Fin
2316eleq1d 2265 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. Fin <-> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2422, 23rspc 2862 . . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. Fin -> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> [_ z / x ]_ B e. Fin )
2618, 25eqeltrid 2283 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. { z } B e. Fin )
27 simpll3 1040 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> Disj x e. A B )
28 simplrl 535 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> y C_ A )
2920snssd 3767 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> { z } C_ A )
3019eldifbd 3169 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> -. z e. y )
31 disjsn 3684 . . . . . . 7 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3230, 31sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
33 disjiun 4028 . . . . . 6 |- ( (Disj x e. A B /\ ( y C_ A /\ { z } C_ A /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1251 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
35 unfidisj 6983 . . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. Fin /\ U_ x e. { z } B e. Fin /\ ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1249 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3713, 36eqeltrid 2283 . . 3 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin )
3837ex 115 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. Fin -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
39 simp1 999 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> A e. Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6952 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [_csb 3084   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   U_ciun 3916  Disj wdisj 4010   Fincfn 6799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802
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