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Theorem iunfidisj 6827
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3821 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
21eleq1d 2206 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
3 iuneq1 3821 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
43eleq1d 2206 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
5 iuneq1 3821 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
65eleq1d 2206 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
7 iuneq1 3821 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
87eleq1d 2206 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
9 0iun 3865 . . . 4  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
10 0fin 6771 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
119, 10eqeltri 2210 . . 3  |-  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin
1211a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin )
13 iunxun 3887 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
14 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )
15 nfcsb1v 3030 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
16 csbeq1a 3007 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 3885 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1817elv 2685 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
19 simplrr 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
2019eldifad 3077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
z  e.  A )
21 simpll2 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
2215nfel1 2290 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
2316eleq1d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
2422, 23rspc 2778 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
2618, 25eqeltrid 2224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
27 simpll3 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> Disj  x  e.  A  B )
28 simplrl 524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
y  C_  A )
2920snssd 3660 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  { z }  C_  A )
3019eldifbd 3078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y
)
31 disjsn 3580 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
3230, 31sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
33 disjiun 3919 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A  /\  ( y  i^i 
{ z } )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B
)  =  (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B
)  =  (/) )
35 unfidisj 6803 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin  /\  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B )  =  (/) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B
)  e.  Fin )
3713, 36eqeltrid 2224 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
3837ex 114 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
39 simp1 981 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  A  e.  Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6778 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   _Vcvv 2681   [_csb 2998    \ cdif 3063    u. cun 3064    i^i cin 3065    C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   U_ciun 3808  Disj wdisj 3901   Fincfn 6627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-disj 3902  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630
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