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Theorem iunfidisj 6945
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that B depends on x, i.e. can be thought of as B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3900 . . 3 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
21eleq1d 2246 . 2 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. (/) B e. Fin ) )
3 iuneq1 3900 . . 3 |- ( w = y -> U_ x e. w B = U_ x e. y B )
43eleq1d 2246 . 2 |- ( w = y -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. y B e. Fin ) )
5 iuneq1 3900 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ x e. w B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
65eleq1d 2246 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
7 iuneq1 3900 . . 3 |- ( w = A -> U_ x e. w B = U_ x e. A B )
87eleq1d 2246 . 2 |- ( w = A -> ( U_ x e. w B e. Fin <-> U_ x e. A B e. Fin ) )
9 0iun 3945 . . . 4 |- U_ x e. (/) B = (/)
10 0fin 6884 . . . 4 |- (/) e. Fin
119, 10eqeltri 2250 . . 3 |- U_ x e. (/) B e. Fin
1211a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. (/) B e. Fin )
13 iunxun 3967 . . . 4 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
14 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. y B e. Fin )
15 nfcsb1v 3091 . . . . . . . 8 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
16 csbeq1a 3067 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 3965 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B )
1817elv 2742 . . . . . 6 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
19 simplrr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
2019eldifad 3141 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> z e. A )
21 simpll2 1037 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> A. x e. A B e. Fin )
2215nfel1 2330 . . . . . . . 8 |- F/ x [_ z / x ]_ B e. Fin
2316eleq1d 2246 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( B e. Fin <-> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2422, 23rspc 2836 . . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A B e. Fin -> [_ z / x ]_ B e. Fin ) )
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> [_ z / x ]_ B e. Fin )
2618, 25eqeltrid 2264 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. { z } B e. Fin )
27 simpll3 1038 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> Disj x e. A B )
28 simplrl 535 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> y C_ A )
2920snssd 3738 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> { z } C_ A )
3019eldifbd 3142 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> -. z e. y )
31 disjsn 3655 . . . . . . 7 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
3230, 31sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
33 disjiun 3999 . . . . . 6 |- ( (Disj x e. A B /\ ( y C_ A /\ { z } C_ A /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1240 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) )
35 unfidisj 6921 . . . . 5 |- ( ( U_ x e. y B e. Fin /\ U_ x e. { z } B e. Fin /\ ( U_ x e. y B i^i U_ x e. { z } B ) = (/) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1238 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. Fin )
3713, 36eqeltrid 2264 . . 3 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ U_ x e. y B e. Fin ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin )
3837ex 115 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( U_ x e. y B e. Fin -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. Fin ) )
39 simp1 997 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> A e. Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6891 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738   [_csb 3058   \ cdif 3127   u. cun 3128   i^i cin 3129   C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   U_ciun 3887  Disj wdisj 3981   Fincfn 6740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-fin 6743
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