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Theorem iunfidisj 6923
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3886 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
21eleq1d 2239 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
3 iuneq1 3886 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
43eleq1d 2239 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
5 iuneq1 3886 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
65eleq1d 2239 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
7 iuneq1 3886 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
87eleq1d 2239 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
9 0iun 3930 . . . 4  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
10 0fin 6862 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
119, 10eqeltri 2243 . . 3  |-  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin
1211a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin )
13 iunxun 3952 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
14 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )
15 nfcsb1v 3082 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
16 csbeq1a 3058 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 3950 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1817elv 2734 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
19 simplrr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
2019eldifad 3132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
z  e.  A )
21 simpll2 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
2215nfel1 2323 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
2316eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
2422, 23rspc 2828 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
2618, 25eqeltrid 2257 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
27 simpll3 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> Disj  x  e.  A  B )
28 simplrl 530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
y  C_  A )
2920snssd 3725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  { z }  C_  A )
3019eldifbd 3133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y
)
31 disjsn 3645 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
3230, 31sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
33 disjiun 3984 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A  /\  ( y  i^i 
{ z } )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B
)  =  (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B
)  =  (/) )
35 unfidisj 6899 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin  /\  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B )  =  (/) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B
)  e.  Fin )
3713, 36eqeltrid 2257 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
3837ex 114 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
39 simp1 992 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  A  e.  Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6869 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   [_csb 3049    \ cdif 3118    u. cun 3119    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   U_ciun 3873  Disj wdisj 3966   Fincfn 6718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721
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