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Theorem iunfidisj 6976
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3914 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
21eleq1d 2258 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
3 iuneq1 3914 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
43eleq1d 2258 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
5 iuneq1 3914 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
65eleq1d 2258 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
7 iuneq1 3914 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
87eleq1d 2258 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
9 0iun 3959 . . . 4  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
10 0fin 6913 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
119, 10eqeltri 2262 . . 3  |-  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin
1211a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  Fin )
13 iunxun 3981 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
14 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )
15 nfcsb1v 3105 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
16 csbeq1a 3081 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1715, 16iunxsngf 3979 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B )
1817elv 2756 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
19 simplrr 536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
2019eldifad 3155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
z  e.  A )
21 simpll2 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
2215nfel1 2343 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
2316eleq1d 2258 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
2422, 23rspc 2850 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
2618, 25eqeltrid 2276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
27 simpll3 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> Disj  x  e.  A  B )
28 simplrl 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
y  C_  A )
2920snssd 3752 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  { z }  C_  A )
3019eldifbd 3156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y
)
31 disjsn 3669 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
3230, 31sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
33 disjiun 4013 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A  /\  ( y  i^i 
{ z } )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B
)  =  (/) )
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1251 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B
)  =  (/) )
35 unfidisj 6951 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin  /\  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U_ x  e.  { z } B )  =  (/) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
3614, 26, 34, 35syl3anc 1249 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B
)  e.  Fin )
3713, 36eqeltrid 2276 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B
)  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  /\  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
3837ex 115 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
39 simp1 999 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  A  e.  Fin )
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6920 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752   [_csb 3072    \ cdif 3141    u. cun 3142    i^i cin 3143    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   U_ciun 3901  Disj wdisj 3995   Fincfn 6767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1o 6442  df-er 6560  df-en 6768  df-fin 6770
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