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Theorem fprod2d 11524
Description: Write a double product as a product over a two-dimensional region. Compare fsum2d 11336. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fprod2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprod2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fprod2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprod2d  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    A, j, k, z    B, k, z    z, C    D, j, k    ph, j,
k, z
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    D( z)

Proof of Theorem fprod2d
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3148 . 2  |-  A  C_  A
2 fprod2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3151 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 prodeq1 11454 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C )
5 iuneq1 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
6 0iun 3907 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
75, 6eqtrdi 2206 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  (/) )
87prodeq1d 11465 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
prod_ z  e.  (/)  D )
94, 8eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( prod_
j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) )
103, 9imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  prod_
j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D )  <->  ( (/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_
k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) ) )
1110imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) ) ) )
12 sseq1 3151 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
13 prodeq1 11454 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C )
14 iuneq1 3863 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) )
1514prodeq1d 11465 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
1613, 15eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
1712, 16imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
1817imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D ) )  <-> 
( ph  ->  ( x 
C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D ) ) ) )
19 sseq1 3151 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
20 prodeq1 11454 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C )
21 iuneq1 3863 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  U_ j  e.  w  ( { j }  X.  B )  =  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )
2221prodeq1d 11465 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
2320, 22eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) )
2419, 23imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
2524imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
26 sseq1 3151 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
27 prodeq1 11454 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C )
28 iuneq1 3863 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
2928prodeq1d 11465 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
3027, 29eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
3126, 30imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
3231imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D ) )  <-> 
( ph  ->  ( A 
C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) D ) ) ) )
33 prod0 11486 . . . . . 6  |-  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  1
34 prod0 11486 . . . . . 6  |-  prod_ z  e.  (/)  D  =  1
3533, 34eqtr4i 2181 . . . . 5  |-  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D
36352a1i 27 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) )
37 ssun1 3270 . . . . . . . . 9  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
38 sstr 3136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
3937, 38mpan 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4039imim1i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  ->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D ) )
41 fprod2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
422ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  A  e.  Fin )
43 fprod2d.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
4443ad4ant14 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
45 fprod2d.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
4645ad4ant14 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
47 simplrr 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  -.  y  e.  x )
48 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )
49 simplrl 525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  x  e.  Fin )
50 biid 170 . . . . . . . . . 10  |-  ( prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
5141, 42, 44, 46, 47, 48, 49, 50fprod2dlemstep 11523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
5251exp31 362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5352a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5440, 53syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_
j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5554expcom 115 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_
j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5655a2d 26 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5711, 18, 25, 32, 36, 56findcard2s 6836 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
582, 57mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
591, 58mpi 15 1  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128    u. cun 3100    C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   <.cop 3563   U_ciun 3850    X. cxp 4585   Fincfn 6686   CCcc 7731   1c1 7734   prod_cprod 11451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-disj 3944  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452
This theorem is referenced by:  fprodxp  11525  fprodcom2fi  11527
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