Theorem fprod2d 11766

Description: Write a double product as a product over a two-dimensional region. Compare fsum2d 11578. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fprod2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fprod2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fprod2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprod2d	|- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   A, j, k, z   B, k, z   z, C   D, j, k   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   D( z)

Proof of Theorem fprod2d

Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3199	. 2 |- A C_ A
2		fprod2d.2	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		prodeq1 11696	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. (/) prod_ k e. B C )
5		iuneq1 3925	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. (/) ( { j } X. B ) )
6		0iun 3970	. . . . . . . . 9 |- U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = (/) )
8	7	prodeq1d 11707	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. (/) D )
9	4, 8	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) )
10	3, 9	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) ) ) )
12		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
13		prodeq1 11696	. . . . . . 7 |- ( w = x -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. x prod_ k e. B C )
14		iuneq1 3925	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. x ( { j } X. B ) )
15	14	prodeq1d 11707	. . . . . . 7 |- ( w = x -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
16	13, 15	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
17	12, 16	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) ) )
19		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
20		prodeq1 11696	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C )
21		iuneq1 3925	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
22	21	prodeq1d 11707	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
23	20, 22	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) )
24	19, 23	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
26		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
27		prodeq1 11696	. . . . . . 7 |- ( w = A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. A prod_ k e. B C )
28		iuneq1 3925	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) )
29	28	prodeq1d 11707	. . . . . . 7 |- ( w = A -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
30	27, 29	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
31	26, 30	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
32	31	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) )
33		prod0 11728	. . . . . 6 |- prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = 1
34		prod0 11728	. . . . . 6 |- prod_ z e. (/) D = 1
35	33, 34	eqtr4i 2217	. . . . 5 |- prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D
36	35	2a1i 27	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) )
37		ssun1 3322	. . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
38		sstr 3187	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
40	39	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
41		fprod2d.1	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
42	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A e. Fin )
43		fprod2d.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
44	43	ad4ant14 514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ j e. A ) -> B e. Fin )
45		fprod2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
46	45	ad4ant14 514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
47		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
49		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
50		biid 171	. . . . . . . . . 10 |- ( prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
51	41, 42, 44, 46, 47, 48, 49, 50	fprod2dlemstep 11765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
52	51	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
53	52	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
54	40, 53	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
55	54	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
56	55	a2d 26	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
57	11, 18, 25, 32, 36, 56	findcard2s 6946	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
58	2, 57	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
59	1, 58	mpi 15	1 |- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   <.cop 3621   U_ciun 3912   X. cxp 4657   Fincfn 6794   CCcc 7870   1c1 7873   prod_cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by:  fprodxp  11767  fprodcom2fi  11769