Theorem fprod2d 11502

Description: Write a double product as a product over a two-dimensional region. Compare fsum2d 11314. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fprod2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fprod2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fprod2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprod2d	|- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   A, j, k, z   B, k, z   z, C   D, j, k   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   D( z)

Proof of Theorem fprod2d

Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3148	. 2 |- A C_ A
2		fprod2d.2	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3151	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		prodeq1 11432	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. (/) prod_ k e. B C )
5		iuneq1 3862	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. (/) ( { j } X. B ) )
6		0iun 3906	. . . . . . . . 9 |- U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2206	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = (/) )
8	7	prodeq1d 11443	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. (/) D )
9	4, 8	eqeq12d 2172	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) )
10	3, 9	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) ) )
11	10	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) ) ) )
12		sseq1 3151	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
13		prodeq1 11432	. . . . . . 7 |- ( w = x -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. x prod_ k e. B C )
14		iuneq1 3862	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. x ( { j } X. B ) )
15	14	prodeq1d 11443	. . . . . . 7 |- ( w = x -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
16	13, 15	eqeq12d 2172	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
17	12, 16	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) ) )
19		sseq1 3151	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
20		prodeq1 11432	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C )
21		iuneq1 3862	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
22	21	prodeq1d 11443	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
23	20, 22	eqeq12d 2172	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) )
24	19, 23	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
25	24	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
26		sseq1 3151	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
27		prodeq1 11432	. . . . . . 7 |- ( w = A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. A prod_ k e. B C )
28		iuneq1 3862	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) )
29	28	prodeq1d 11443	. . . . . . 7 |- ( w = A -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )
30	27, 29	eqeq12d 2172	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
31	26, 30	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
32	31	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) )
33		prod0 11464	. . . . . 6 |- prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = 1
34		prod0 11464	. . . . . 6 |- prod_ z e. (/) D = 1
35	33, 34	eqtr4i 2181	. . . . 5 |- prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D
36	35	2a1i 27	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) )
37		ssun1 3270	. . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
38		sstr 3136	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
39	37, 38	mpan 421	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
40	39	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) )
41		fprod2d.1	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
42	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A e. Fin )
43		fprod2d.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
44	43	ad4ant14 506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ j e. A ) -> B e. Fin )
45		fprod2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
46	45	ad4ant14 506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
47		simplrr 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
48		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
49		simplrl 525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
50		biid 170	. . . . . . . . . 10 |- ( prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
51	41, 42, 44, 46, 47, 48, 49, 50	fprod2dlemstep 11501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )
52	51	exp31 362	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
53	52	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
54	40, 53	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) )
55	54	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
56	55	a2d 26	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) )
57	11, 18, 25, 32, 36, 56	findcard2s 6828	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) )
58	2, 57	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) )
59	1, 58	mpi 15	1 |- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   <.cop 3563   U_ciun 3849   X. cxp 4581   Fincfn 6678   CCcc 7713   1c1 7716   prod_cprod 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-proddc 11430

This theorem is referenced by:  fprodxp  11503  fprodcom2fi  11505