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Theorem fprod2d 11586
Description: Write a double product as a product over a two-dimensional region. Compare fsum2d 11398. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fprod2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprod2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fprod2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprod2d  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    A, j, k, z    B, k, z    z, C    D, j, k    ph, j,
k, z
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    D( z)

Proof of Theorem fprod2d
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3167 . 2  |-  A  C_  A
2 fprod2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 prodeq1 11516 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C )
5 iuneq1 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
6 0iun 3930 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
75, 6eqtrdi 2219 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  (/) )
87prodeq1d 11527 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
prod_ z  e.  (/)  D )
94, 8eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( prod_
j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) )
103, 9imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  prod_
j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D )  <->  ( (/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_
k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) ) )
1110imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) ) ) )
12 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
13 prodeq1 11516 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C )
14 iuneq1 3886 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) )
1514prodeq1d 11527 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
1613, 15eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
1712, 16imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
1817imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D ) )  <-> 
( ph  ->  ( x 
C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D ) ) ) )
19 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
20 prodeq1 11516 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C )
21 iuneq1 3886 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  U_ j  e.  w  ( { j }  X.  B )  =  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )
2221prodeq1d 11527 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
2320, 22eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) )
2419, 23imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
2524imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
26 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
27 prodeq1 11516 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C )
28 iuneq1 3886 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
2928prodeq1d 11527 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
3027, 29eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
3126, 30imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
3231imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D ) )  <-> 
( ph  ->  ( A 
C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) D ) ) ) )
33 prod0 11548 . . . . . 6  |-  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  1
34 prod0 11548 . . . . . 6  |-  prod_ z  e.  (/)  D  =  1
3533, 34eqtr4i 2194 . . . . 5  |-  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D
36352a1i 27 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) )
37 ssun1 3290 . . . . . . . . 9  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
38 sstr 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
3937, 38mpan 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4039imim1i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  ->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D ) )
41 fprod2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
422ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  A  e.  Fin )
43 fprod2d.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
4443ad4ant14 511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
45 fprod2d.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
4645ad4ant14 511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
47 simplrr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  -.  y  e.  x )
48 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )
49 simplrl 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  x  e.  Fin )
50 biid 170 . . . . . . . . . 10  |-  ( prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
5141, 42, 44, 46, 47, 48, 49, 50fprod2dlemstep 11585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
5251exp31 362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5352a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5440, 53syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_
j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5554expcom 115 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_
j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5655a2d 26 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5711, 18, 25, 32, 36, 56findcard2s 6868 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
582, 57mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
591, 58mpi 15 1  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141    u. cun 3119    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   <.cop 3586   U_ciun 3873    X. cxp 4609   Fincfn 6718   CCcc 7772   1c1 7775   prod_cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by:  fprodxp  11587  fprodcom2fi  11589
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