Theorem abladdsub 13123

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
abladdsub	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem abladdsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	ablcom 13111	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
4	3	3adant3r3 1214	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5	4	oveq1d 5892	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( Y .+ X ) .- Z ) )
6		ablgrp 13098	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
8		simpr2 1004	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
9		simpr1 1003	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
10		simpr3 1005	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
11		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
12	1, 2, 11	grpaddsubass 12965	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .- Z ) = ( Y .+ ( X .- Z ) ) )
13	7, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1240	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .- Z ) = ( Y .+ ( X .- Z ) ) )
14		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Abel )
15	1, 11	grpsubcl 12955	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
16	7, 9, 10, 15	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Z ) e. B )
17	1, 2	ablcom 13111	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ Y e. B /\ ( X .- Z ) e. B ) -> ( Y .+ ( X .- Z ) ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )
18	14, 8, 16, 17	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .+ ( X .- Z ) ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )
19	5, 13, 18	3eqtrd 2214	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   Grpcgrp 12882   -gcsg 12884   Abelcabl 13094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-cmn 13095  df-abl 13096

This theorem is referenced by:  ablpncan2  13124  ablsubsub  13126