Theorem abladdsub 12914

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
abladdsub	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem abladdsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	ablcom 12902	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
4	3	3adant3r3 1214	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5	4	oveq1d 5880	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( Y .+ X ) .- Z ) )
6		ablgrp 12889	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
8		simpr2 1004	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
9		simpr1 1003	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
10		simpr3 1005	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
11		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
12	1, 2, 11	grpaddsubass 12819	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .- Z ) = ( Y .+ ( X .- Z ) ) )
13	7, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1240	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .- Z ) = ( Y .+ ( X .- Z ) ) )
14		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Abel )
15	1, 11	grpsubcl 12809	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
16	7, 9, 10, 15	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Z ) e. B )
17	1, 2	ablcom 12902	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ Y e. B /\ ( X .- Z ) e. B ) -> ( Y .+ ( X .- Z ) ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )
18	14, 8, 16, 17	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .+ ( X .- Z ) ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )
19	5, 13, 18	3eqtrd 2212	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12428   +g cplusg 12492   Grpcgrp 12738   -gcsg 12740   Abelcabl 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-plusg 12505  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-grp 12741  df-minusg 12742  df-sbg 12743  df-cmn 12886  df-abl 12887

This theorem is referenced by:  ablpncan2  12915  ablsubsub  12917