Theorem abladdsub 13271

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
abladdsub	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem abladdsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	ablcom 13259	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
4	3	3adant3r3 1216	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5	4	oveq1d 5912	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( Y .+ X ) .- Z ) )
6		ablgrp 13245	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
8		simpr2 1006	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
9		simpr1 1005	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
10		simpr3 1007	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
11		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
12	1, 2, 11	grpaddsubass 13049	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .- Z ) = ( Y .+ ( X .- Z ) ) )
13	7, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .- Z ) = ( Y .+ ( X .- Z ) ) )
14		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Abel )
15	1, 11	grpsubcl 13039	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
16	7, 9, 10, 15	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Z ) e. B )
17	1, 2	ablcom 13259	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ Y e. B /\ ( X .- Z ) e. B ) -> ( Y .+ ( X .- Z ) ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )
18	14, 8, 16, 17	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .+ ( X .- Z ) ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )
19	5, 13, 18	3eqtrd 2226	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   Grpcgrp 12960   -gcsg 12962   Abelcabl 13241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-inn 8951  df-2 9009  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-sbg 12965  df-cmn 13242  df-abl 13243

This theorem is referenced by:  ablpncan2  13272  ablsubsub  13274