ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abladdsub Unicode version

Theorem abladdsub 12942
Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
abladdsub  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Z )  =  ( ( X  .-  Z
)  .+  Y )
)

Proof of Theorem abladdsub
StepHypRef Expression
1 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 ablsubadd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2ablcom 12930 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
433adant3r3 1214 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) )
54oveq1d 5884 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Z )  =  ( ( Y  .+  X
)  .-  Z )
)
6 ablgrp 12917 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
76adantr 276 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
8 simpr2 1004 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
9 simpr1 1003 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
10 simpr3 1005 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Z  e.  B )
11 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
121, 2, 11grpaddsubass 12846 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .+  X
)  .-  Z )  =  ( Y  .+  ( X  .-  Z ) ) )
137, 8, 9, 10, 12syl13anc 1240 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( Y  .+  X )  .-  Z )  =  ( Y  .+  ( X 
.-  Z ) ) )
14 simpl 109 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  G  e.  Abel )
151, 11grpsubcl 12836 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
167, 9, 10, 15syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .-  Z )  e.  B
)
171, 2ablcom 12930 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .-  Z )  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  Y
) )
1814, 8, 16, 17syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Y  .+  ( X  .-  Z
) )  =  ( ( X  .-  Z
)  .+  Y )
)
195, 13, 183eqtrd 2214 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Z )  =  ( ( X  .-  Z
)  .+  Y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12442   +g cplusg 12515   Grpcgrp 12764   -gcsg 12766   Abelcabl 12913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1re 7893  ax-addrcl 7896
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-inn 8906  df-2 8964  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-0g 12652  df-mgm 12664  df-sgrp 12697  df-mnd 12707  df-grp 12767  df-minusg 12768  df-sbg 12769  df-cmn 12914  df-abl 12915
This theorem is referenced by:  ablpncan2  12943  ablsubsub  12945
  Copyright terms: Public domain W3C validator