Theorem ablnnncan1 14083

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan1 8528 analog.) (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	|- B = ( Base ` G )
ablnncan.m	|- .- = ( -g ` G )
ablnncan.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablnncan.x	|- ( ph -> X e. B )
ablnncan.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsub32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan1	|- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) = ( Z .- Y ) )

Proof of Theorem ablnnncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		ablnncan.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
3		ablnncan.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
4		ablnncan.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
5		ablnncan.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
6		ablgrp 14048	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
7	3, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
8		ablsub32.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
9	1, 2	grpsubcl 13841	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
10	7, 4, 8, 9	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Z ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ablsub32 14081	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) = ( ( X .- ( X .- Z ) ) .- Y ) )
12	1, 2, 3, 4, 8	ablnncan 14080	. . 3 |- ( ph -> ( X .- ( X .- Z ) ) = Z )
13	12	oveq1d 6075	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- ( X .- Z ) ) .- Y ) = ( Z .- Y ) )
14	11, 13	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) = ( Z .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   Basecbs 13302   Grpcgrp 13761   -gcsg 13763   Abelcabl 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1re 8239  ax-addrcl 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-inn 9260  df-2 9318  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-plusg 13393  df-0g 13561  df-mgm 13625  df-sgrp 13671  df-mnd 13684  df-grp 13764  df-minusg 13765  df-sbg 13766  df-cmn 14045  df-abl 14046

This theorem is referenced by: (None)