Theorem ablnnncan1 13397

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan1 8257 analog.) (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	|- B = ( Base ` G )
ablnncan.m	|- .- = ( -g ` G )
ablnncan.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablnncan.x	|- ( ph -> X e. B )
ablnncan.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsub32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan1	|- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) = ( Z .- Y ) )

Proof of Theorem ablnnncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		ablnncan.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
3		ablnncan.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
4		ablnncan.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
5		ablnncan.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
6		ablgrp 13362	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
7	3, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
8		ablsub32.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
9	1, 2	grpsubcl 13155	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
10	7, 4, 8, 9	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Z ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ablsub32 13395	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) = ( ( X .- ( X .- Z ) ) .- Y ) )
12	1, 2, 3, 4, 8	ablnncan 13394	. . 3 |- ( ph -> ( X .- ( X .- Z ) ) = Z )
13	12	oveq1d 5934	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- ( X .- Z ) ) .- Y ) = ( Z .- Y ) )
14	11, 13	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) = ( Z .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   Grpcgrp 13075   -gcsg 13077   Abelcabl 13358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-cmn 13359  df-abl 13360

This theorem is referenced by: (None)