Theorem ablinvadd 13118

Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablinvadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablinvadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablinvadd.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablinvadd	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) )

Proof of Theorem ablinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13098	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2		ablinvadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		ablinvadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4		ablinvadd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
5	2, 3, 4	grpinvadd 12953	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
6	1, 5	syl3an1 1271	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
7		simp1 997	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Abel )
8	1	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
9		simp2 998	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10	2, 4	grpinvcl 12926	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
12		simp3 999	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
13	2, 4	grpinvcl 12926	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
14	8, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
15	2, 3	ablcom 13111	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( N ` X ) e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
16	7, 11, 14, 15	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
17	6, 16	eqtr4d 2213	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   Grpcgrp 12882   invgcminusg 12883   Abelcabl 13094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-cmn 13095  df-abl 13096

This theorem is referenced by:  ablsub4  13121  lmodnegadd  13431