Theorem ablinvadd 13646

Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablinvadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablinvadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablinvadd.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablinvadd	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) )

Proof of Theorem ablinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13625	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2		ablinvadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		ablinvadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4		ablinvadd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
5	2, 3, 4	grpinvadd 13410	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
6	1, 5	syl3an1 1283	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
7		simp1 1000	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Abel )
8	1	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
9		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10	2, 4	grpinvcl 13380	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
12		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
13	2, 4	grpinvcl 13380	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
14	8, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
15	2, 3	ablcom 13639	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( N ` X ) e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
16	7, 11, 14, 15	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
17	6, 16	eqtr4d 2241	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Grpcgrp 13332   invgcminusg 13333   Abelcabl 13621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-cmn 13622  df-abl 13623

This theorem is referenced by:  ablsub4  13649  invghm  13665  lmodnegadd  14098