Theorem ablinvadd 12909

Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablinvadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablinvadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablinvadd.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablinvadd	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) )

Proof of Theorem ablinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 12889	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2		ablinvadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		ablinvadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4		ablinvadd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
5	2, 3, 4	grpinvadd 12807	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
6	1, 5	syl3an1 1271	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
7		simp1 997	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Abel )
8	1	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
9		simp2 998	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10	2, 4	grpinvcl 12781	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
12		simp3 999	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
13	2, 4	grpinvcl 12781	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
14	8, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
15	2, 3	ablcom 12902	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( N ` X ) e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
16	7, 11, 14, 15	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
17	6, 16	eqtr4d 2211	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12428   +g cplusg 12492   Grpcgrp 12738   invgcminusg 12739   Abelcabl 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-plusg 12505  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-grp 12741  df-minusg 12742  df-cmn 12886  df-abl 12887

This theorem is referenced by:  ablsub4  12912