Theorem ablpnpcan 13128

Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (pnpcan 8198 analog.) (Contributed by NM, 29-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
ablsubsub.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablsubsub.x	|- ( ph -> X e. B )
ablsubsub.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsubsub.z	|- ( ph -> Z e. B )
ablpnpcan.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablpnpcan.x	|- ( ph -> X e. B )
ablpnpcan.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablpnpcan.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablpnpcan	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .- ( X .+ Z ) ) = ( Y .- Z ) )

Proof of Theorem ablpnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablsubsub.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
3		ablsubsub.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
4		ablsubsub.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
5		ablsubadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
7		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
8	5, 6, 7	ablsub4 13121	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( X .+ Z ) ) = ( ( X .- X ) .+ ( Y .- Z ) ) )
9	1, 2, 3, 2, 4, 8	syl122anc 1247	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .- ( X .+ Z ) ) = ( ( X .- X ) .+ ( Y .- Z ) ) )
10		ablgrp 13098	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
11	1, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
12		eqid 2177	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
13	5, 12, 7	grpsubid 12959	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .- X ) = ( 0g ` G ) )
14	11, 2, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( X .- X ) = ( 0g ` G ) )
15	14	oveq1d 5892	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- X ) .+ ( Y .- Z ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( Y .- Z ) ) )
16	5, 7	grpsubcl 12955	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) e. B )
17	11, 3, 4, 16	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( Y .- Z ) e. B )
18	5, 6, 12	grplid 12911	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y .- Z ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( Y .- Z ) ) = ( Y .- Z ) )
19	11, 17, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( 0g ` G ) .+ ( Y .- Z ) ) = ( Y .- Z ) )
20	9, 15, 19	3eqtrd 2214	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .- ( X .+ Z ) ) = ( Y .- Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Grpcgrp 12882   -gcsg 12884   Abelcabl 13094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-cmn 13095  df-abl 13096

This theorem is referenced by: (None)