Theorem ablpncan3 13125

Description: A cancellation law for Abelian groups. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablpncan3	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- X ) ) = Y )

Proof of Theorem ablpncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> G e. Abel )
2		simprl 529	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
3		ablgrp 13098	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> G e. Grp )
5		simprr 531	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
6		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
7		ablsubadd.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
8	6, 7	grpsubcl 12955	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .- X ) e. B )
9	4, 5, 2, 8	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Y .- X ) e. B )
10		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
11	6, 10	ablcom 13111	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ ( Y .- X ) e. B ) -> ( X .+ ( Y .- X ) ) = ( ( Y .- X ) .+ X ) )
12	1, 2, 9, 11	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- X ) ) = ( ( Y .- X ) .+ X ) )
13	6, 10, 7	grpnpcan 12967	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( Y .- X ) .+ X ) = Y )
14	4, 5, 2, 13	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Y .- X ) .+ X ) = Y )
15	12, 14	eqtrd 2210	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- X ) ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   Grpcgrp 12882   -gcsg 12884   Abelcabl 13094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-cmn 13095  df-abl 13096

This theorem is referenced by:  ablnnncan  13131