Theorem ablsubsub4 13626

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
ablsubsub.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablsubsub.x	|- ( ph -> X e. B )
ablsubsub.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsubsub.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub4	|- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem ablsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 13596	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
4		ablsubsub.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
5		ablsubsub.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
6		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
7		ablsubadd.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
8	6, 7	grpsubcl 13383	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. B )
10		ablsubsub.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
11		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
12		eqid 2204	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
13	6, 11, 12, 7	grpsubval 13349	. . 3 |- ( ( ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
14	9, 10, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
15	6, 12	grpinvcl 13351	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
16	3, 10, 15	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
17	6, 11, 7, 1, 4, 5, 16	ablsubsub 13625	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
18	6, 11, 7, 12, 3, 5, 10	grpsubinv 13376	. . 3 |- ( ph -> ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y .+ Z ) )
19	18	oveq2d 5959	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )
20	14, 17, 19	3eqtr2d 2243	1 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   Grpcgrp 13303   invgcminusg 13304   -gcsg 13305   Abelcabl 13592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-minusg 13307  df-sbg 13308  df-cmn 13593  df-abl 13594

This theorem is referenced by:  ablsub32  13629  ablnnncan  13630