Theorem ablsubsub4 14123

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
ablsubsub.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablsubsub.x	|- ( ph -> X e. B )
ablsubsub.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsubsub.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub4	|- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem ablsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 14092	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
4		ablsubsub.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
5		ablsubsub.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
6		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
7		ablsubadd.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
8	6, 7	grpsubcl 13885	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. B )
10		ablsubsub.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
11		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
13	6, 11, 12, 7	grpsubval 13851	. . 3 |- ( ( ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
14	9, 10, 13	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
15	6, 12	grpinvcl 13853	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
16	3, 10, 15	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
17	6, 11, 7, 1, 4, 5, 16	ablsubsub 14122	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
18	6, 11, 7, 12, 3, 5, 10	grpsubinv 13878	. . 3 |- ( ph -> ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y .+ Z ) )
19	18	oveq2d 6101	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )
20	14, 17, 19	3eqtr2d 2277	1 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806   -gcsg 13807   Abelcabl 14088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810  df-cmn 14089  df-abl 14090

This theorem is used by:  ablsub32  14126  ablnnncan  14127