Theorem ablsubsub4 14077

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
ablsubsub.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablsubsub.x	|- ( ph -> X e. B )
ablsubsub.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsubsub.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub4	|- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem ablsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 14047	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
4		ablsubsub.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
5		ablsubsub.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
6		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
7		ablsubadd.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
8	6, 7	grpsubcl 13840	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. B )
10		ablsubsub.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
11		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
12		eqid 2234	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
13	6, 11, 12, 7	grpsubval 13806	. . 3 |- ( ( ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
14	9, 10, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
15	6, 12	grpinvcl 13808	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
16	3, 10, 15	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
17	6, 11, 7, 1, 4, 5, 16	ablsubsub 14076	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
18	6, 11, 7, 12, 3, 5, 10	grpsubinv 13833	. . 3 |- ( ph -> ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y .+ Z ) )
19	18	oveq2d 6075	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )
20	14, 17, 19	3eqtr2d 2273	1 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   Basecbs 13301   +g cplusg 13379   Grpcgrp 13760   invgcminusg 13761   -gcsg 13762   Abelcabl 14043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1re 8238  ax-addrcl 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-inn 9259  df-2 9317  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-0g 13560  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-grp 13763  df-minusg 13764  df-sbg 13765  df-cmn 14044  df-abl 14045

This theorem is referenced by:  ablsub32  14080  ablnnncan  14081