Theorem ablsubsub4 13122

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
ablsubsub.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablsubsub.x	|- ( ph -> X e. B )
ablsubsub.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsubsub.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub4	|- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem ablsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 13093	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
4		ablsubsub.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
5		ablsubsub.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
6		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
7		ablsubadd.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
8	6, 7	grpsubcl 12950	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. B )
10		ablsubsub.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
11		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
12		eqid 2177	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
13	6, 11, 12, 7	grpsubval 12919	. . 3 |- ( ( ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
14	9, 10, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
15	6, 12	grpinvcl 12921	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
16	3, 10, 15	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
17	6, 11, 7, 1, 4, 5, 16	ablsubsub 13121	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( ( X .- Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
18	6, 11, 7, 12, 3, 5, 10	grpsubinv 12943	. . 3 |- ( ph -> ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y .+ Z ) )
19	18	oveq2d 5891	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )
20	14, 17, 19	3eqtr2d 2216	1 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Basecbs 12462   +g cplusg 12536   Grpcgrp 12877   invgcminusg 12878   -gcsg 12879   Abelcabl 13089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-sbg 12882  df-cmn 13090  df-abl 13091

This theorem is referenced by:  ablsub32  13125  ablnnncan  13126