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Theorem abladdsub4 12941
Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
abladdsub4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )

Proof of Theorem abladdsub4
StepHypRef Expression
1 ablgrp 12917 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
213ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
3 simp2l 1023 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
4 simp2r 1024 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
5 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 ablsubadd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
75, 6grpcl 12772 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
82, 3, 4, 7syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
9 simp3l 1025 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
10 simp3r 1026 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
115, 6grpcl 12772 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Z  .+  W
)  e.  B )
122, 9, 10, 11syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  W )  e.  B )
135, 6grpcl 12772 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  .+  Y
)  e.  B )
142, 9, 4, 13syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  Y )  e.  B )
15 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
165, 15grpsubrcan 12837 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( Z  .+  W
)  e.  B  /\  ( Z  .+  Y )  e.  B ) )  ->  ( ( ( X  .+  Y ) 
.-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <-> 
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W ) ) )
172, 8, 12, 14, 16syl13anc 1240 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z 
.+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Z  .+  W ) ) )
18 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Abel )
195, 6, 15ablsub4 12940 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  Y ) ) )
2018, 3, 4, 9, 4, 19syl122anc 1247 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  Y ) ) )
21 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
225, 21, 15grpsubid 12840 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .-  Y
)  =  ( 0g
`  G ) )
232, 4, 22syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Y  .-  Y )  =  ( 0g `  G
) )
2423oveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( Y  .-  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( 0g `  G ) ) )
255, 15grpsubcl 12836 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
262, 3, 9, 25syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Z )  e.  B )
275, 6, 21grprid 12794 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .-  Z )  e.  B )  -> 
( ( X  .-  Z )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( X  .-  Z ) )
282, 26, 27syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( X  .-  Z
) )
2920, 24, 283eqtrd 2214 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( X  .-  Z
) )
305, 6, 15ablsub4 12940 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .-  Z )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
3118, 9, 10, 9, 4, 30syl122anc 1247 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .-  Z )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
325, 21, 15grpsubid 12840 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .-  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
332, 9, 32syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .-  Z )  =  ( 0g `  G
) )
3433oveq1d 5884 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .-  Z
)  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
355, 15grpsubcl 12836 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( W  .-  Y
)  e.  B )
362, 10, 4, 35syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( W  .-  Y )  e.  B )
375, 6, 21grplid 12793 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( W  .-  Y )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( W  .-  Y ) )
382, 36, 37syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( W  .-  Y
) )
3931, 34, 383eqtrd 2214 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( W  .-  Y
) )
4029, 39eqeq12d 2192 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z 
.+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )
4117, 40bitr3d 190 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12442   +g cplusg 12515   0gc0g 12650   Grpcgrp 12764   -gcsg 12766   Abelcabl 12913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1re 7893  ax-addrcl 7896
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-inn 8906  df-2 8964  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-0g 12652  df-mgm 12664  df-sgrp 12697  df-mnd 12707  df-grp 12767  df-minusg 12768  df-sbg 12769  df-cmn 12914  df-abl 12915
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