Theorem abladdsub4 14067

Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
abladdsub4	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )

Proof of Theorem abladdsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 14042	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2	1	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Grp )
3		simp2l 1050	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
4		simp2r 1051	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
5		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
6		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpcl 13763	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
9		simp3l 1052	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
10		simp3r 1053	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11	5, 6	grpcl 13763	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ W ) e. B )
13	5, 6	grpcl 13763	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
14	2, 9, 4, 13	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
15		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
16	5, 15	grpsubrcan 13836	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Z .+ W ) e. B /\ ( Z .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) ) )
17	2, 8, 12, 14, 16	syl13anc 1276	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) ) )
18		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Abel )
19	5, 6, 15	ablsub4 14066	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) )
20	18, 3, 4, 9, 4, 19	syl122anc 1283	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) )
21		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22	5, 21, 15	grpsubid 13839	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) )
23	2, 4, 22	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) )
25	5, 15	grpsubcl 13835	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
26	2, 3, 9, 25	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .- Z ) e. B )
27	5, 6, 21	grprid 13787	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Z ) e. B ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( X .- Z ) )
28	2, 26, 27	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( X .- Z ) )
29	20, 24, 28	3eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( X .- Z ) )
30	5, 6, 15	ablsub4 14066	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Z e. B /\ W e. B ) /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) )
31	18, 9, 10, 9, 4, 30	syl122anc 1283	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) )
32	5, 21, 15	grpsubid 13839	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( Z .- Z ) = ( 0g ` G ) )
33	2, 9, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .- Z ) = ( 0g ` G ) )
34	33	oveq1d 6073	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) )
35	5, 15	grpsubcl 13835	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ W e. B /\ Y e. B ) -> ( W .- Y ) e. B )
36	2, 10, 4, 35	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( W .- Y ) e. B )
37	5, 6, 21	grplid 13786	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( W .- Y ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) = ( W .- Y ) )
38	2, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) = ( W .- Y ) )
39	31, 34, 38	3eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( W .- Y ) )
40	29, 39	eqeq12d 2249	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )
41	17, 40	bitr3d 190	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Grpcgrp 13755   -gcsg 13757   Abelcabl 14038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-cmn 14039  df-abl 14040

This theorem is referenced by:  lmodvaddsub4  14613