Theorem abladdsub4 13387

Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
abladdsub4	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )

Proof of Theorem abladdsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13362	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2	1	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Grp )
3		simp2l 1025	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
4		simp2r 1026	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
5		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
6		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpcl 13083	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
9		simp3l 1027	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
10		simp3r 1028	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11	5, 6	grpcl 13083	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ W ) e. B )
13	5, 6	grpcl 13083	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
14	2, 9, 4, 13	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
15		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
16	5, 15	grpsubrcan 13156	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Z .+ W ) e. B /\ ( Z .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) ) )
17	2, 8, 12, 14, 16	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) ) )
18		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Abel )
19	5, 6, 15	ablsub4 13386	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) )
20	18, 3, 4, 9, 4, 19	syl122anc 1258	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) )
21		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22	5, 21, 15	grpsubid 13159	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) )
23	2, 4, 22	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq2d 5935	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) )
25	5, 15	grpsubcl 13155	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
26	2, 3, 9, 25	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .- Z ) e. B )
27	5, 6, 21	grprid 13107	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Z ) e. B ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( X .- Z ) )
28	2, 26, 27	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( X .- Z ) )
29	20, 24, 28	3eqtrd 2230	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( X .- Z ) )
30	5, 6, 15	ablsub4 13386	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Z e. B /\ W e. B ) /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) )
31	18, 9, 10, 9, 4, 30	syl122anc 1258	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) )
32	5, 21, 15	grpsubid 13159	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( Z .- Z ) = ( 0g ` G ) )
33	2, 9, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .- Z ) = ( 0g ` G ) )
34	33	oveq1d 5934	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) )
35	5, 15	grpsubcl 13155	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ W e. B /\ Y e. B ) -> ( W .- Y ) e. B )
36	2, 10, 4, 35	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( W .- Y ) e. B )
37	5, 6, 21	grplid 13106	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( W .- Y ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) = ( W .- Y ) )
38	2, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) = ( W .- Y ) )
39	31, 34, 38	3eqtrd 2230	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( W .- Y ) )
40	29, 39	eqeq12d 2208	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )
41	17, 40	bitr3d 190	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Grpcgrp 13075   -gcsg 13077   Abelcabl 13358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-cmn 13359  df-abl 13360

This theorem is referenced by:  lmodvaddsub4  13838