Theorem ablsubsub 13968

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
ablsubsub.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablsubsub.x	|- ( ph -> X e. B )
ablsubsub.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsubsub.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub	|- ( ph -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( ( X .- Y ) .+ Z ) )

Proof of Theorem ablsubsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 13939	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
4		ablsubsub.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
5		ablsubsub.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
6		ablsubsub.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
7		ablsubadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
8		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
10	7, 8, 9	grpsubsub 13735	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
11	3, 4, 5, 6, 10	syl13anc 1276	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
12	7, 8, 9	grpaddsubass 13736	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- Y ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
13	3, 4, 6, 5, 12	syl13anc 1276	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Z ) .- Y ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
14	7, 8, 9	abladdsub 13965	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- Y ) = ( ( X .- Y ) .+ Z ) )
15	1, 4, 6, 5, 14	syl13anc 1276	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Z ) .- Y ) = ( ( X .- Y ) .+ Z ) )
16	11, 13, 15	3eqtr2d 2270	1 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( ( X .- Y ) .+ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   Grpcgrp 13646   -gcsg 13648   Abelcabl 13935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-sbg 13651  df-cmn 13936  df-abl 13937

This theorem is referenced by:  ablsubsub4  13969  ablnncan  13971