Theorem ablsubsub 13074

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )
ablsubsub.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablsubsub.x	|- ( ph -> X e. B )
ablsubsub.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsubsub.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub	|- ( ph -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( ( X .- Y ) .+ Z ) )

Proof of Theorem ablsubsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 13046	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
4		ablsubsub.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
5		ablsubsub.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
6		ablsubsub.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
7		ablsubadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
8		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
10	7, 8, 9	grpsubsub 12913	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
11	3, 4, 5, 6, 10	syl13anc 1240	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
12	7, 8, 9	grpaddsubass 12914	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- Y ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
13	3, 4, 6, 5, 12	syl13anc 1240	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Z ) .- Y ) = ( X .+ ( Z .- Y ) ) )
14	7, 8, 9	abladdsub 13071	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- Y ) = ( ( X .- Y ) .+ Z ) )
15	1, 4, 6, 5, 14	syl13anc 1240	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Z ) .- Y ) = ( ( X .- Y ) .+ Z ) )
16	11, 13, 15	3eqtr2d 2216	1 |- ( ph -> ( X .- ( Y .- Z ) ) = ( ( X .- Y ) .+ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530   Grpcgrp 12831   -gcsg 12833   Abelcabl 13042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-sbg 12836  df-cmn 13043  df-abl 13044

This theorem is referenced by:  ablsubsub4  13075  ablnncan  13077