ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ablsubsub Unicode version

Theorem ablsubsub 13074
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ablsubsub.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablsubsub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ablsubsub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
ablsubsub.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
ablsubsub  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem ablsubsub
StepHypRef Expression
1 ablsubsub.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 13046 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 ablsubsub.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 ablsubsub.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 ablsubsub.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
7 ablsubadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
9 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
107, 8, 9grpsubsub 12913 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )
113, 4, 5, 6, 10syl13anc 1240 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )
127, 8, 9grpaddsubass 12914 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .-  Y )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )
133, 4, 6, 5, 12syl13anc 1240 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Z )  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( Z  .-  Y ) ) )
147, 8, 9abladdsub 13071 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Z )  .-  Y )  =  ( ( X  .-  Y
)  .+  Z )
)
151, 4, 6, 5, 14syl13anc 1240 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Z )  .-  Y
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.+  Z ) )
1611, 13, 153eqtr2d 2216 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530   Grpcgrp 12831   -gcsg 12833   Abelcabl 13042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-sbg 12836  df-cmn 13043  df-abl 13044
This theorem is referenced by:  ablsubsub4  13075  ablnncan  13077
  Copyright terms: Public domain W3C validator