Theorem ablnncan 14055

Description: Cancellation law for group subtraction. (nncan 8504 analog.) (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	|- B = ( Base ` G )
ablnncan.m	|- .- = ( -g ` G )
ablnncan.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablnncan.x	|- ( ph -> X e. B )
ablnncan.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablnncan	|- ( ph -> ( X .- ( X .- Y ) ) = Y )

Proof of Theorem ablnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		ablnncan.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
4		ablnncan.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
5		ablnncan.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6		ablnncan.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
7	1, 2, 3, 4, 5, 5, 6	ablsubsub 14052	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( X .- Y ) ) = ( ( X .- X ) ( +g ` G ) Y ) )
8		ablgrp 14023	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
10		eqid 2234	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
11	1, 10, 3	grpsubid 13814	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .- X ) = ( 0g ` G ) )
12	9, 5, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( X .- X ) = ( 0g ` G ) )
13	12	oveq1d 6067	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- X ) ( +g ` G ) Y ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) Y ) )
14	1, 2, 10	grplid 13761	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) Y ) = Y )
15	9, 6, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) Y ) = Y )
16	7, 13, 15	3eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( X .- ( X .- Y ) ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   0gc0g 13486   Grpcgrp 13730   -gcsg 13732   Abelcabl 14019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-sbg 13735  df-cmn 14020  df-abl 14021

This theorem is referenced by:  ablnnncan1  14058