Theorem ablnnncan 14107

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan 8554 analog.) (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	|- B = ( Base ` G )
ablnncan.m	|- .- = ( -g ` G )
ablnncan.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablnncan.x	|- ( ph -> X e. B )
ablnncan.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsub32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan	|- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem ablnnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		ablnncan.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
4		ablnncan.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
5		ablnncan.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6		ablgrp 14072	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
7	4, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
8		ablnncan.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
9		ablsub32.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
10	1, 3	grpsubcl 13865	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) e. B )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( Y .- Z ) e. B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 11, 9	ablsubsub4 14103	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
13	1, 2	ablcom 14086	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Y .- Z ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) )
14	4, 11, 9, 13	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) )
15	1, 2, 3	ablpncan3 14101	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) = Y )
16	4, 9, 8, 15	syl12anc 1276	. . . 4 |- ( ph -> ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) = Y )
17	14, 16	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
18	17	oveq2d 6094	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) = ( X .- Y ) )
19	12, 18	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   Grpcgrp 13785   -gcsg 13787   Abelcabl 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-inn 9287  df-2 9345  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-sbg 13790  df-cmn 14069  df-abl 14070

This theorem is referenced by: (None)