Theorem ablnnncan 13990

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan 8473 analog.) (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	|- B = ( Base ` G )
ablnncan.m	|- .- = ( -g ` G )
ablnncan.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablnncan.x	|- ( ph -> X e. B )
ablnncan.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsub32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan	|- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem ablnnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		ablnncan.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
4		ablnncan.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
5		ablnncan.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6		ablgrp 13956	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
7	4, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
8		ablnncan.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
9		ablsub32.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
10	1, 3	grpsubcl 13743	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) e. B )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( Y .- Z ) e. B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 11, 9	ablsubsub4 13986	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
13	1, 2	ablcom 13970	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Y .- Z ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) )
14	4, 11, 9, 13	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) )
15	1, 2, 3	ablpncan3 13984	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) = Y )
16	4, 9, 8, 15	syl12anc 1272	. . . 4 |- ( ph -> ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) = Y )
17	14, 16	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
18	17	oveq2d 6044	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) = ( X .- Y ) )
19	12, 18	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   Grpcgrp 13663   -gcsg 13665   Abelcabl 13952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-sbg 13668  df-cmn 13953  df-abl 13954

This theorem is referenced by: (None)