Theorem ablnnncan 13393

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan 8254 analog.) (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	|- B = ( Base ` G )
ablnncan.m	|- .- = ( -g ` G )
ablnncan.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablnncan.x	|- ( ph -> X e. B )
ablnncan.y	|- ( ph -> Y e. B )
ablsub32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan	|- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem ablnnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		ablnncan.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
4		ablnncan.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
5		ablnncan.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6		ablgrp 13359	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
7	4, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
8		ablnncan.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
9		ablsub32.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
10	1, 3	grpsubcl 13152	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) e. B )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( Y .- Z ) e. B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 11, 9	ablsubsub4 13389	. 2 |- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
13	1, 2	ablcom 13373	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Y .- Z ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) )
14	4, 11, 9, 13	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) )
15	1, 2, 3	ablpncan3 13387	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) = Y )
16	4, 9, 8, 15	syl12anc 1247	. . . 4 |- ( ph -> ( Z ( +g ` G ) ( Y .- Z ) ) = Y )
17	14, 16	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
18	17	oveq2d 5934	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) = ( X .- Y ) )
19	12, 18	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( ( X .- ( Y .- Z ) ) .- Z ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   Grpcgrp 13072   -gcsg 13074   Abelcabl 13355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-cmn 13356  df-abl 13357

This theorem is referenced by: (None)