Theorem ablsub4 13386

Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablsub4	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )

Proof of Theorem ablsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13362	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2	1	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Grp )
3		simp2l 1025	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
4		simp2r 1026	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
5		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
6		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpcl 13083	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
9		simp3l 1027	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
10		simp3r 1028	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11	5, 6	grpcl 13083	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ W ) e. B )
13		eqid 2193	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
14		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
15	5, 6, 13, 14	grpsubval 13121	. . 3 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Z .+ W ) e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) )
17		ablcmn 13364	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
18	17	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
19		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
20	5, 13	grpinvcl 13123	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
21	2, 9, 20	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
22	5, 13	grpinvcl 13123	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ W e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` W ) e. B )
23	2, 10, 22	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` W ) e. B )
24	5, 6	cmn4 13378	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` W ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
25	18, 19, 21, 23, 24	syl112anc 1253	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
26		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Abel )
27	5, 6, 13	ablinvadd 13383	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
28	26, 9, 10, 27	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
29	28	oveq2d 5935	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
30	5, 6, 13, 14	grpsubval 13121	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
31	3, 9, 30	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .- Z ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
32	5, 6, 13, 14	grpsubval 13121	. . . . 5 |- ( ( Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y .- W ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
33	4, 10, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .- W ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
34	31, 33	oveq12d 5937	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
35	25, 29, 34	3eqtr4d 2236	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )
36	16, 35	eqtrd 2226	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076   -gcsg 13077  CMndccmn 13357   Abelcabl 13358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-cmn 13359  df-abl 13360

This theorem is referenced by:  abladdsub4  13387  ablpnpcan  13393