Theorem ablsub4 13764

Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablsub4	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )

Proof of Theorem ablsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13740	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2	1	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Grp )
3		simp2l 1026	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
4		simp2r 1027	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
5		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
6		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpcl 13455	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
9		simp3l 1028	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
10		simp3r 1029	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11	5, 6	grpcl 13455	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ W ) e. B )
13		eqid 2207	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
14		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
15	5, 6, 13, 14	grpsubval 13493	. . 3 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Z .+ W ) e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) )
17		ablcmn 13742	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
18	17	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
19		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
20	5, 13	grpinvcl 13495	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
21	2, 9, 20	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
22	5, 13	grpinvcl 13495	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ W e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` W ) e. B )
23	2, 10, 22	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` W ) e. B )
24	5, 6	cmn4 13756	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` W ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
25	18, 19, 21, 23, 24	syl112anc 1254	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
26		simp1 1000	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Abel )
27	5, 6, 13	ablinvadd 13761	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
28	26, 9, 10, 27	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
29	28	oveq2d 5983	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
30	5, 6, 13, 14	grpsubval 13493	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
31	3, 9, 30	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .- Z ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
32	5, 6, 13, 14	grpsubval 13493	. . . . 5 |- ( ( Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y .- W ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
33	4, 10, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .- W ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
34	31, 33	oveq12d 5985	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
35	25, 29, 34	3eqtr4d 2250	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )
36	16, 35	eqtrd 2240	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   Grpcgrp 13447   invgcminusg 13448   -gcsg 13449  CMndccmn 13735   Abelcabl 13736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452  df-cmn 13737  df-abl 13738

This theorem is referenced by:  abladdsub4  13765  ablpnpcan  13771