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Theorem ablsub4 12930
Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablsub4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )

Proof of Theorem ablsub4
StepHypRef Expression
1 ablgrp 12907 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
213ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
3 simp2l 1023 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
4 simp2r 1024 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
5 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 ablsubadd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
75, 6grpcl 12762 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
82, 3, 4, 7syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
9 simp3l 1025 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
10 simp3r 1026 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
115, 6grpcl 12762 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Z  .+  W
)  e.  B )
122, 9, 10, 11syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  W )  e.  B )
13 eqid 2177 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
14 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
155, 6, 13, 14grpsubval 12796 . . 3  |-  ( ( ( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( Z  .+  W )  e.  B )  -> 
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( Z  .+  W ) ) ) )
168, 12, 15syl2anc 411 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( invg `  G ) `  ( Z  .+  W ) ) ) )
17 ablcmn 12909 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
18173ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e. CMnd )
19 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
205, 13grpinvcl 12798 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
212, 9, 20syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
225, 13grpinvcl 12798 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  W  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  W
)  e.  B )
232, 10, 22syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  W
)  e.  B )
245, 6cmn4 12922 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  ( ( invg `  G
) `  W )  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (
( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
)  .+  ( Y  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) ) )
2518, 19, 21, 23, 24syl112anc 1242 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( (
( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
)  .+  ( Y  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) ) )
26 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Abel )
275, 6, 13ablinvadd 12927 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) )
2826, 9, 10, 27syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) )
2928oveq2d 5884 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 ( Z  .+  W ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) ) )
305, 6, 13, 14grpsubval 12796 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  =  ( X 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
313, 9, 30syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Z )  =  ( X  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) ) )
325, 6, 13, 14grpsubval 12796 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  .-  W
)  =  ( Y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 W ) ) )
334, 10, 32syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Y  .-  W )  =  ( Y  .+  (
( invg `  G ) `  W
) ) )
3431, 33oveq12d 5886 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( Y  .-  W ) )  =  ( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  .+  ( Y  .+  ( ( invg `  G ) `
 W ) ) ) )
3525, 29, 343eqtr4d 2220 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 ( Z  .+  W ) ) )  =  ( ( X 
.-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )
3616, 35eqtrd 2210 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   Grpcgrp 12754   invgcminusg 12755   -gcsg 12756  CMndccmn 12902   Abelcabl 12903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-sbg 12759  df-cmn 12904  df-abl 12905
This theorem is referenced by:  abladdsub4  12931  ablpnpcan  12937
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