Theorem ablsub4 13443

Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablsub4	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )

Proof of Theorem ablsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13419	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2	1	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Grp )
3		simp2l 1025	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
4		simp2r 1026	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
5		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
6		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpcl 13140	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
9		simp3l 1027	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
10		simp3r 1028	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11	5, 6	grpcl 13140	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ W ) e. B )
13		eqid 2196	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
14		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
15	5, 6, 13, 14	grpsubval 13178	. . 3 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Z .+ W ) e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) )
17		ablcmn 13421	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
18	17	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
19		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
20	5, 13	grpinvcl 13180	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
21	2, 9, 20	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
22	5, 13	grpinvcl 13180	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ W e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` W ) e. B )
23	2, 10, 22	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` W ) e. B )
24	5, 6	cmn4 13435	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` W ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
25	18, 19, 21, 23, 24	syl112anc 1253	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
26		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Abel )
27	5, 6, 13	ablinvadd 13440	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
28	26, 9, 10, 27	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
29	28	oveq2d 5938	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
30	5, 6, 13, 14	grpsubval 13178	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
31	3, 9, 30	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .- Z ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
32	5, 6, 13, 14	grpsubval 13178	. . . . 5 |- ( ( Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y .- W ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
33	4, 10, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .- W ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
34	31, 33	oveq12d 5940	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
35	25, 29, 34	3eqtr4d 2239	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )
36	16, 35	eqtrd 2229	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133   -gcsg 13134  CMndccmn 13414   Abelcabl 13415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-cmn 13416  df-abl 13417

This theorem is referenced by:  abladdsub4  13444  ablpnpcan  13450