Theorem ablsub4 13850

Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablsub4	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )

Proof of Theorem ablsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13826	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2	1	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Grp )
3		simp2l 1047	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
4		simp2r 1048	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
5		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
6		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpcl 13541	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
9		simp3l 1049	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
10		simp3r 1050	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11	5, 6	grpcl 13541	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ W ) e. B )
13		eqid 2229	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
14		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
15	5, 6, 13, 14	grpsubval 13579	. . 3 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Z .+ W ) e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) )
17		ablcmn 13828	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
18	17	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
19		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
20	5, 13	grpinvcl 13581	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
21	2, 9, 20	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
22	5, 13	grpinvcl 13581	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ W e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` W ) e. B )
23	2, 10, 22	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` W ) e. B )
24	5, 6	cmn4 13842	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` W ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
25	18, 19, 21, 23, 24	syl112anc 1275	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
26		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Abel )
27	5, 6, 13	ablinvadd 13847	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
28	26, 9, 10, 27	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
29	28	oveq2d 6017	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
30	5, 6, 13, 14	grpsubval 13579	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
31	3, 9, 30	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .- Z ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
32	5, 6, 13, 14	grpsubval 13579	. . . . 5 |- ( ( Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y .- W ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
33	4, 10, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .- W ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) )
34	31, 33	oveq12d 6019	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` W ) ) ) )
35	25, 29, 34	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( Z .+ W ) ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )
36	16, 35	eqtrd 2262	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ W ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   Grpcgrp 13533   invgcminusg 13534   -gcsg 13535  CMndccmn 13821   Abelcabl 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-sbg 13538  df-cmn 13823  df-abl 13824

This theorem is referenced by:  abladdsub4  13851  ablpnpcan  13857