Theorem ablsubadd 13218

Description: Relationship between Abelian group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablsubadd	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Y .+ Z ) = X ) )

Proof of Theorem ablsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13195	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2		ablsubadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
5	2, 3, 4	grpsubadd 13004	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )
6	1, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )
7	2, 3	ablcom 13209	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
8	7	3adant3r1 1214	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
9	8	eqeq1d 2198	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ Z ) = X <-> ( Z .+ Y ) = X ) )
10	6, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Y .+ Z ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12486   +g cplusg 12561   Grpcgrp 12917   -gcsg 12919   Abelcabl 13191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1re 7924  ax-addrcl 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-inn 8939  df-2 8997  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-sbg 12922  df-cmn 13192  df-abl 13193

This theorem is referenced by:  lmodvsubadd  13621