Theorem ablsubadd 13146

Description: Relationship between Abelian group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablsubadd	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Y .+ Z ) = X ) )

Proof of Theorem ablsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13123	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2		ablsubadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
5	2, 3, 4	grpsubadd 12982	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )
6	1, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )
7	2, 3	ablcom 13137	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
8	7	3adant3r1 1213	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
9	8	eqeq1d 2196	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ Z ) = X <-> ( Z .+ Y ) = X ) )
10	6, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Y .+ Z ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   Grpcgrp 12896   -gcsg 12898   Abelcabl 13119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-cmn 13120  df-abl 13121

This theorem is referenced by:  lmodvsubadd  13491