Theorem acexmidlemab 5916

Description: Lemma for acexmid 5921. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemab	|- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )

Distinct variable groups:   x, y, v, u, A   x, B, y, v, u   x, C, y, v, u   ph, x, y, v, u

Proof of Theorem acexmidlemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3454	. . . 4 |- -. (/) e. (/)
2		0ex 4160	. . . . . 6 |- (/) e. _V
3	2	snid 3653	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
4		eleq2 2260	. . . . 5 |- ( (/) = { (/) } -> ( (/) e. (/) <-> (/) e. { (/) } ) )
5	3, 4	mpbiri 168	. . . 4 |- ( (/) = { (/) } -> (/) e. (/) )
6	1, 5	mto 663	. . 3 |- -. (/) = { (/) }
7		acexmidlem.a	. . . . . . . . . 10 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
8		acexmidlem.b	. . . . . . . . . 10 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
9		acexmidlem.c	. . . . . . . . . 10 |- C = { A , B }
10	7, 8, 9	acexmidlemph 5915	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = B )
11		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> A = B )
12		eleq1 2259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = B -> ( A e. u <-> B e. u ) )
13	12	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = B -> ( ( A e. u /\ v e. u ) <-> ( B e. u /\ v e. u ) ) )
14	13	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
15	11, 14	riotaeqbidv 5880	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
16	10, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
17	16	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) <-> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) ) )
18	17	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) )
19	18	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) )
20		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } )
21	19, 20	eqtr3d 2231	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> (/) = { (/) } )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> (/) = { (/) } ) )
23	6, 22	mtoi 665	. 2 |- ( ph -> -. ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
24	23	con2i 628	1 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   {crab 2479   (/)c0 3450   {csn 3622   {cpr 3623   iota_crio 5876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-nul 4159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-nul 3451  df-sn 3628  df-uni 3840  df-iota 5219  df-riota 5877

This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5918