Theorem acexmidlemab 5836

Description: Lemma for acexmid 5841. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemab	|- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )

Distinct variable groups:   x, y, v, u, A   x, B, y, v, u   x, C, y, v, u   ph, x, y, v, u

Proof of Theorem acexmidlemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3413	. . . 4 |- -. (/) e. (/)
2		0ex 4109	. . . . . 6 |- (/) e. _V
3	2	snid 3607	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
4		eleq2 2230	. . . . 5 |- ( (/) = { (/) } -> ( (/) e. (/) <-> (/) e. { (/) } ) )
5	3, 4	mpbiri 167	. . . 4 |- ( (/) = { (/) } -> (/) e. (/) )
6	1, 5	mto 652	. . 3 |- -. (/) = { (/) }
7		acexmidlem.a	. . . . . . . . . 10 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
8		acexmidlem.b	. . . . . . . . . 10 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
9		acexmidlem.c	. . . . . . . . . 10 |- C = { A , B }
10	7, 8, 9	acexmidlemph 5835	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = B )
11		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> A = B )
12		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = B -> ( A e. u <-> B e. u ) )
13	12	anbi1d 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = B -> ( ( A e. u /\ v e. u ) <-> ( B e. u /\ v e. u ) ) )
14	13	rexbidv 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
15	11, 14	riotaeqbidv 5801	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
16	10, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
17	16	eqeq1d 2174	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) <-> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) ) )
18	17	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) )
19	18	adantrr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) )
20		simprr 522	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } )
21	19, 20	eqtr3d 2200	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> (/) = { (/) } )
22	21	ex 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> (/) = { (/) } ) )
23	6, 22	mtoi 654	. 2 |- ( ph -> -. ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
24	23	con2i 617	1 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   {crab 2448   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   iota_crio 5797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-nul 4108

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-nul 3410  df-sn 3582  df-uni 3790  df-iota 5153  df-riota 5798

This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5838