Theorem acexmidlem1 5997

Description: Lemma for acexmid 6000. List the cases identified in acexmidlemcase 5996 and hook them up to the lemmas which handle each case. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem1	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . 3 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		acexmidlem.b	. . 3 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
3		acexmidlem.c	. . 3 |- C = { A , B }
4	1, 2, 3	acexmidlemcase 5996	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
5	1, 2, 3	acexmidlema 5992	. . . 4 |- ( { (/) } e. A -> ph )
6	5	orcd 738	. . 3 |- ( { (/) } e. A -> ( ph \/ -. ph ) )
7	1, 2, 3	acexmidlemb 5993	. . . 4 |- ( (/) e. B -> ph )
8	7	orcd 738	. . 3 |- ( (/) e. B -> ( ph \/ -. ph ) )
9	1, 2, 3	acexmidlemab 5995	. . . 4 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )
10	9	olcd 739	. . 3 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
11	6, 8, 10	3jaoi 1337	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
12	4, 11	syl 14	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   {crab 2512   (/)c0 3491   {csn 3666   {cpr 3667   iota_crio 5953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iota 5278  df-riota 5954

This theorem is referenced by:  acexmidlem2  5998