Theorem acexmidlem1 5942

Description: Lemma for acexmid 5945. List the cases identified in acexmidlemcase 5941 and hook them up to the lemmas which handle each case. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem1	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . 3 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		acexmidlem.b	. . 3 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
3		acexmidlem.c	. . 3 |- C = { A , B }
4	1, 2, 3	acexmidlemcase 5941	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
5	1, 2, 3	acexmidlema 5937	. . . 4 |- ( { (/) } e. A -> ph )
6	5	orcd 735	. . 3 |- ( { (/) } e. A -> ( ph \/ -. ph ) )
7	1, 2, 3	acexmidlemb 5938	. . . 4 |- ( (/) e. B -> ph )
8	7	orcd 735	. . 3 |- ( (/) e. B -> ( ph \/ -. ph ) )
9	1, 2, 3	acexmidlemab 5940	. . . 4 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )
10	9	olcd 736	. . 3 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
11	6, 8, 10	3jaoi 1316	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
12	4, 11	syl 14	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E!wreu 2486   {crab 2488   (/)c0 3460   {csn 3633   {cpr 3634   iota_crio 5900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-tr 4144  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iota 5233  df-riota 5901

This theorem is referenced by:  acexmidlem2  5943