Theorem acexmidlem1 5884

Description: Lemma for acexmid 5887. List the cases identified in acexmidlemcase 5883 and hook them up to the lemmas which handle each case. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem1	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . 3 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		acexmidlem.b	. . 3 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
3		acexmidlem.c	. . 3 |- C = { A , B }
4	1, 2, 3	acexmidlemcase 5883	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
5	1, 2, 3	acexmidlema 5879	. . . 4 |- ( { (/) } e. A -> ph )
6	5	orcd 734	. . 3 |- ( { (/) } e. A -> ( ph \/ -. ph ) )
7	1, 2, 3	acexmidlemb 5880	. . . 4 |- ( (/) e. B -> ph )
8	7	orcd 734	. . 3 |- ( (/) e. B -> ( ph \/ -. ph ) )
9	1, 2, 3	acexmidlemab 5882	. . . 4 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )
10	9	olcd 735	. . 3 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
11	6, 8, 10	3jaoi 1313	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
12	4, 11	syl 14	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   \/ w3o 978   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   E!wreu 2467   {crab 2469   (/)c0 3434   {csn 3604   {cpr 3605   iota_crio 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-tr 4114  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iota 5190  df-riota 5844

This theorem is referenced by:  acexmidlem2  5885