Theorem acexmidlem1 5838

Description: Lemma for acexmid 5841. List the cases identified in acexmidlemcase 5837 and hook them up to the lemmas which handle each case. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem1	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . 3 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		acexmidlem.b	. . 3 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
3		acexmidlem.c	. . 3 |- C = { A , B }
4	1, 2, 3	acexmidlemcase 5837	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
5	1, 2, 3	acexmidlema 5833	. . . 4 |- ( { (/) } e. A -> ph )
6	5	orcd 723	. . 3 |- ( { (/) } e. A -> ( ph \/ -. ph ) )
7	1, 2, 3	acexmidlemb 5834	. . . 4 |- ( (/) e. B -> ph )
8	7	orcd 723	. . 3 |- ( (/) e. B -> ( ph \/ -. ph ) )
9	1, 2, 3	acexmidlemab 5836	. . . 4 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )
10	9	olcd 724	. . 3 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
11	6, 8, 10	3jaoi 1293	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
12	4, 11	syl 14	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   E!wreu 2446   {crab 2448   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   iota_crio 5797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iota 5153  df-riota 5798

This theorem is referenced by:  acexmidlem2  5839