Theorem acexmidlem1 6024

Description: Lemma for acexmid 6027. List the cases identified in acexmidlemcase 6023 and hook them up to the lemmas which handle each case. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem1	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . 3 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		acexmidlem.b	. . 3 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
3		acexmidlem.c	. . 3 |- C = { A , B }
4	1, 2, 3	acexmidlemcase 6023	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
5	1, 2, 3	acexmidlema 6019	. . . 4 |- ( { (/) } e. A -> ph )
6	5	orcd 741	. . 3 |- ( { (/) } e. A -> ( ph \/ -. ph ) )
7	1, 2, 3	acexmidlemb 6020	. . . 4 |- ( (/) e. B -> ph )
8	7	orcd 741	. . 3 |- ( (/) e. B -> ( ph \/ -. ph ) )
9	1, 2, 3	acexmidlemab 6022	. . . 4 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )
10	9	olcd 742	. . 3 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
11	6, 8, 10	3jaoi 1340	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
12	4, 11	syl 14	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   E!wreu 2513   {crab 2515   (/)c0 3496   {csn 3673   {cpr 3674   iota_crio 5980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iota 5293  df-riota 5981

This theorem is referenced by:  acexmidlem2  6025