Theorem acexmidlemcase 5957

Description: Lemma for acexmid 5961. Here we divide the proof into cases (based on the disjunction implicit in an unordered pair, not the sort of case elimination which relies on excluded middle).

The cases are (1) the choice function evaluated at A equals { (/) }, (2) the choice function evaluated at B equals (/), and (3) the choice function evaluated at A equals (/) and the choice function evaluated at B equals { (/) }.

Because of the way we represent the choice function y, the choice function evaluated at A is ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) and the choice function evaluated at B is ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ). Other than the difference in notation these work just as ( y ` A ) and ( y ` B ) would if y were a function as defined by df-fun 5287.

Although it isn't exactly about the division into cases, it is also convenient for this lemma to also include the step that if the choice function evaluated at A equals { (/) }, then { (/) } e. A and likewise for B.

(Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemcase	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlemcase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		onsucelsucexmidlem 4590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } e. On
3	1, 2	eqeltri 2279	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. On
4		prid1g 3742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> A e. { A , B } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. { A , B }
6		acexmidlem.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = { A , B }
7	5, 6	eleqtrri 2282	. . . . . . . . . . 11 |- A e. C
8		eleq1 2269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = A -> ( z e. u <-> A e. u ) )
9	8	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = A -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( A e. u /\ v e. u ) ) )
10	9	rexbidv 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = A -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
11	10	reueqd 2717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
12	11	rspcv 2877	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. C -> ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) )
14		riotacl 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A )
16		elrabi 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
17	16, 1	eleq2s 2301	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
18		elpri 3661	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
19	15, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
20		eleq1 2269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A <-> { (/) } e. A ) )
21	15, 20	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } -> { (/) } e. A ) )
22	21	orim2d 790	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) ) )
23	19, 22	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) )
24		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		pp0ex 4244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) , { (/) } } e. _V
26	25	rabex 4199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } e. _V
27	24, 26	eqeltri 2279	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. _V
28	27	prid2 3745	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. { A , B }
29	28, 6	eleqtrri 2282	. . . . . . . . . . 11 |- B e. C
30		eleq1 2269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = B -> ( z e. u <-> B e. u ) )
31	30	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( B e. u /\ v e. u ) ) )
32	31	rexbidv 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
33	32	reueqd 2717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = B -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
34	33	rspcv 2877	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) )
36		riotacl 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B )
38		elrabi 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
39	38, 24	eleq2s 2301	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
40		elpri 3661	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
41	37, 39, 40	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
42		eleq1 2269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B <-> (/) e. B ) )
43	37, 42	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) -> (/) e. B ) )
44	43	orim1d 789	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
46	23, 45	jca 306	. . . . . 6 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) /\ ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
47		anddi 823	. . . . . 6 |- ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) /\ ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) <-> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
48	46, 47	sylib 122	. . . . 5 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
49		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) -> { (/) } e. A )
50		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> { (/) } e. A )
51	49, 50	jaoi 718	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> { (/) } e. A )
52	51	orim2i 763	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ { (/) } e. A ) )
53	48, 52	syl 14	. . . 4 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ { (/) } e. A ) )
54	53	orcomd 731	. . 3 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
55		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) -> (/) e. B )
56	55	orim1i 762	. . . 4 |- ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
57	56	orim2i 763	. . 3 |- ( ( { (/) } e. A \/ ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) -> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
58	54, 57	syl 14	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
59		3orass 984	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) <-> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
60	58, 59	sylibr 134	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   E!wreu 2487   {crab 2489   _Vcvv 2773   (/)c0 3464   {csn 3638   {cpr 3639   Oncon0 4423   iota_crio 5916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-uni 3860  df-tr 4154  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iota 5246  df-riota 5917

This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5958