Theorem acexmidlemcase 6070

Description: Lemma for acexmid 6074. Here we divide the proof into cases (based on the disjunction implicit in an unordered pair, not the sort of case elimination which relies on excluded middle).

The cases are (1) the choice function evaluated at A equals { (/) }, (2) the choice function evaluated at B equals (/), and (3) the choice function evaluated at A equals (/) and the choice function evaluated at B equals { (/) }.

Because of the way we represent the choice function y, the choice function evaluated at A is ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) and the choice function evaluated at B is ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ). Other than the difference in notation these work just as ( y ` A ) and ( y ` B ) would if y were a function as defined by df-fun 5374.

Although it isn't exactly about the division into cases, it is also convenient for this lemma to also include the step that if the choice function evaluated at A equals { (/) }, then { (/) } e. A and likewise for B.

(Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemcase	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlemcase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		onsucelsucexmidlem 4671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } e. On
3	1, 2	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. On
4		prid1g 3811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> A e. { A , B } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. { A , B }
6		acexmidlem.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = { A , B }
7	5, 6	eleqtrri 2314	. . . . . . . . . . 11 |- A e. C
8		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = A -> ( z e. u <-> A e. u ) )
9	8	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = A -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( A e. u /\ v e. u ) ) )
10	9	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = A -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
11	10	reueqd 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
12	11	rspcv 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. C -> ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) )
14		riotacl 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A )
16		elrabi 2979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
17	16, 1	eleq2s 2333	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
18		elpri 3728	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
19	15, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
20		eleq1 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A <-> { (/) } e. A ) )
21	15, 20	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } -> { (/) } e. A ) )
22	21	orim2d 800	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) ) )
23	19, 22	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) )
24		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		pp0ex 4321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) , { (/) } } e. _V
26	25	rabex 4275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } e. _V
27	24, 26	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. _V
28	27	prid2 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. { A , B }
29	28, 6	eleqtrri 2314	. . . . . . . . . . 11 |- B e. C
30		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = B -> ( z e. u <-> B e. u ) )
31	30	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( B e. u /\ v e. u ) ) )
32	31	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
33	32	reueqd 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = B -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
34	33	rspcv 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) )
36		riotacl 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B )
38		elrabi 2979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
39	38, 24	eleq2s 2333	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
40		elpri 3728	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
41	37, 39, 40	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
42		eleq1 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B <-> (/) e. B ) )
43	37, 42	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) -> (/) e. B ) )
44	43	orim1d 799	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
46	23, 45	jca 306	. . . . . 6 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) /\ ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
47		anddi 833	. . . . . 6 |- ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) /\ ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) <-> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
48	46, 47	sylib 122	. . . . 5 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
49		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) -> { (/) } e. A )
50		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> { (/) } e. A )
51	49, 50	jaoi 728	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> { (/) } e. A )
52	51	orim2i 773	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ { (/) } e. A ) )
53	48, 52	syl 14	. . . 4 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ { (/) } e. A ) )
54	53	orcomd 741	. . 3 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
55		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) -> (/) e. B )
56	55	orim1i 772	. . . 4 |- ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
57	56	orim2i 773	. . 3 |- ( ( { (/) } e. A \/ ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) -> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
58	54, 57	syl 14	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
59		3orass 1012	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) <-> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
60	58, 59	sylibr 134	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   E!wreu 2530   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3705   {cpr 3706   Oncon0 4503   iota_crio 6027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-tr 4225  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iota 5332  df-riota 6028

This theorem is referenced by:  acexmidlem1  6071