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Theorem acexmidlemcase 5629
Description: Lemma for acexmid 5633. Here we divide the proof into cases (based on the disjunction implicit in an unordered pair, not the sort of case elimination which relies on excluded middle).

The cases are (1) the choice function evaluated at  A equals  { (/) }, (2) the choice function evaluated at  B equals  (/), and (3) the choice function evaluated at  A equals 
(/) and the choice function evaluated at  B equals  { (/) }.

Because of the way we represent the choice function  y, the choice function evaluated at  A is  ( iota_ v  e.  A E. u  e.  y ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) ) and the choice function evaluated at  B is  ( iota_ v  e.  B E. u  e.  y ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) ). Other than the difference in notation these work just as  ( y `  A ) and  ( y `  B ) would if  y were a function as defined by df-fun 5004.

Although it isn't exactly about the division into cases, it is also convenient for this lemma to also include the step that if the choice function evaluated at  A equals  { (/) }, then  { (/) }  e.  A and likewise for  B.

(Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
acexmidlem.a  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
acexmidlem.b  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
acexmidlem.c  |-  C  =  { A ,  B }
Assertion
Ref Expression
acexmidlemcase  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( { (/) }  e.  A  \/  (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, v, u, A    x, B, y, z, v, u   
x, C, y, z, v, u    ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlemcase
StepHypRef Expression
1 acexmidlem.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
2 onsucelsucexmidlem 4335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On
31, 2eqeltri 2160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e.  On
4 prid1g 3541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  { A ,  B } )
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
{ A ,  B }
6 acexmidlem.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  { A ,  B }
75, 6eleqtrri 2163 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  C
8 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  A  ->  (
z  e.  u  <->  A  e.  u ) )
98anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
109rexbidv 2381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  A  ->  ( E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
1110reueqd 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  ( E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E! v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
1211rspcv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  C  ->  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  ->  E! v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
137, 12ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  E! v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )
14 riotacl 5604 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  A
)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  A
)
16 elrabi 2766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  ->  (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }
)
1716, 1eleq2s 2182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  A  ->  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }
)
18 elpri 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
1915, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
20 eleq1 2150 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
}  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u )
)  e.  A  <->  { (/) }  e.  A ) )
2115, 20syl5ibcom 153 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) }  ->  { (/) }  e.  A ) )
2221orim2d 737 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } )  -> 
( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  { (/) }  e.  A ) ) )
2319, 22mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  { (/) }  e.  A ) )
24 acexmidlem.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
25 pp0ex 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
2625rabex 3975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }  e.  _V
2724, 26eqeltri 2160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
_V
2827prid2 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
{ A ,  B }
2928, 6eleqtrri 2163 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e.  C
30 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  u  <->  B  e.  u ) )
3130anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
3231rexbidv 2381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  B  ->  ( E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
3332reueqd 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  B  ->  ( E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E! v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
3433rspcv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  ->  E! v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
3529, 34ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  E! v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )
36 riotacl 5604 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  B
)
3735, 36syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  B
)
38 elrabi 2766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( x  =  { (/)
}  \/  ph ) }  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  e. 
{ (/) ,  { (/) } } )
3938, 24eleq2s 2182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  B  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }
)
40 elpri 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }  ->  ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
4137, 39, 403syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
42 eleq1 2150 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  ->  ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  e.  B  <->  (/)  e.  B ) )
4337, 42syl5ibcom 153 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  ->  (/)  e.  B ) )
4443orim1d 736 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } )  -> 
( (/)  e.  B  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
} ) ) )
4541, 44mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( (/)  e.  B  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
} ) )
4623, 45jca 300 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  { (/) }  e.  A )  /\  ( (/) 
e.  B  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) ) )
47 anddi 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  { (/) }  e.  A )  /\  ( (/) 
e.  B  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) )  <->  ( (
( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  ( ( {
(/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  \/  ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) ) ) )
4846, 47sylib 120 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  ( ( {
(/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  \/  ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) ) ) )
49 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  ->  { (/) }  e.  A )
50 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
} )  ->  { (/) }  e.  A )
5149, 50jaoi 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  \/  ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) )  ->  { (/) }  e.  A )
5251orim2i 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  ( ( {
(/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  \/  ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) ) )  -> 
( ( ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  { (/) }  e.  A ) )
5348, 52syl 14 . . . 4  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  { (/) }  e.  A ) )
5453orcomd 683 . . 3  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( { (/) }  e.  A  \/  ( (
( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) ) )
55 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  ->  (/) 
e.  B )
5655orim1i 712 . . . 4  |-  ( ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) )
5756orim2i 713 . . 3  |-  ( ( { (/) }  e.  A  \/  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) )  ->  ( { (/)
}  e.  A  \/  ( (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) ) )
5854, 57syl 14 . 2  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( { (/) }  e.  A  \/  ( (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) ) )
59 3orass 927 . 2  |-  ( ( { (/) }  e.  A  \/  (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  <-> 
( { (/) }  e.  A  \/  ( (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) ) )
6058, 59sylibr 132 1  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( { (/) }  e.  A  \/  (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   E!wreu 2361   {crab 2363   _Vcvv 2619   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442   Oncon0 4181   iota_crio 5589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-tr 3929  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iota 4967  df-riota 5590
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