Theorem acexmidlemcase 6080

Description: Lemma for acexmid 6084. Here we divide the proof into cases (based on the disjunction implicit in an unordered pair, not the sort of case elimination which relies on excluded middle).

The cases are (1) the choice function evaluated at A equals { (/) }, (2) the choice function evaluated at B equals (/), and (3) the choice function evaluated at A equals (/) and the choice function evaluated at B equals { (/) }.

Because of the way we represent the choice function y, the choice function evaluated at A is ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) and the choice function evaluated at B is ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ). Other than the difference in notation these work just as ( y ` A ) and ( y ` B ) would if y were a function as defined by df-fun 5379.

Although it isn't exactly about the division into cases, it is also convenient for this lemma to also include the step that if the choice function evaluated at A equals { (/) }, then { (/) } e. A and likewise for B.

(Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemcase	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlemcase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		onsucelsucexmidlem 4676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } e. On
3	1, 2	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. On
4		prid1g 3815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> A e. { A , B } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. { A , B }
6		acexmidlem.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = { A , B }
7	5, 6	eleqtrri 2314	. . . . . . . . . . 11 |- A e. C
8		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = A -> ( z e. u <-> A e. u ) )
9	8	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = A -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( A e. u /\ v e. u ) ) )
10	9	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = A -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
11	10	reueqd 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
12	11	rspcv 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. C -> ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) )
14		riotacl 6054	. . . . . . . . . 10 |- ( E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A )
16		elrabi 2979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
17	16, 1	eleq2s 2333	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
18		elpri 3732	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
19	15, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
20		eleq1 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A <-> { (/) } e. A ) )
21	15, 20	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } -> { (/) } e. A ) )
22	21	orim2d 800	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) ) )
23	19, 22	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) )
24		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		pp0ex 4326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) , { (/) } } e. _V
26	25	rabex 4280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } e. _V
27	24, 26	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. _V
28	27	prid2 3818	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. { A , B }
29	28, 6	eleqtrri 2314	. . . . . . . . . . 11 |- B e. C
30		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = B -> ( z e. u <-> B e. u ) )
31	30	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( B e. u /\ v e. u ) ) )
32	31	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
33	32	reueqd 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = B -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
34	33	rspcv 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) )
36		riotacl 6054	. . . . . . . . . 10 |- ( E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B )
38		elrabi 2979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
39	38, 24	eleq2s 2333	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
40		elpri 3732	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
41	37, 39, 40	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
42		eleq1 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B <-> (/) e. B ) )
43	37, 42	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) -> (/) e. B ) )
44	43	orim1d 799	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
46	23, 45	jca 306	. . . . . 6 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) /\ ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
47		anddi 833	. . . . . 6 |- ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) /\ ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) <-> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
48	46, 47	sylib 122	. . . . 5 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
49		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) -> { (/) } e. A )
50		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> { (/) } e. A )
51	49, 50	jaoi 728	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> { (/) } e. A )
52	51	orim2i 773	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ { (/) } e. A ) )
53	48, 52	syl 14	. . . 4 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ { (/) } e. A ) )
54	53	orcomd 741	. . 3 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
55		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) -> (/) e. B )
56	55	orim1i 772	. . . 4 |- ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
57	56	orim2i 773	. . 3 |- ( ( { (/) } e. A \/ ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) -> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
58	54, 57	syl 14	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
59		3orass 1012	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) <-> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
60	58, 59	sylibr 134	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   E!wreu 2530   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3709   {cpr 3710   Oncon0 4508   iota_crio 6037

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iota 5337  df-riota 6038

This theorem is used by:  acexmidlem1  6081