Theorem acexmid 5918

Description: The axiom of choice implies excluded middle. Theorem 1.3 in [Bauer] p. 483.

The statement of the axiom of choice given here is ac2 in the Metamath Proof Explorer (version of 3-Aug-2019). In particular, note that the choice function y provides a value when z is inhabited (as opposed to nonempty as in some statements of the axiom of choice).

Essentially the same proof can also be found at "The axiom of choice implies instances of EM", [Crosilla], p. "Set-theoretic principles incompatible with intuitionistic logic".

Often referred to as Diaconescu's theorem, or Diaconescu-Goodman-Myhill theorem, after Radu Diaconescu who discovered it in 1975 in the framework of topos theory and N. D. Goodman and John Myhill in 1978 in the framework of set theory (although it already appeared as an exercise in Errett Bishop's book Foundations of Constructive Analysis from 1967).

For this theorem stated using the df-ac 7268 and df-exmid 4225 syntaxes, see exmidac 7271. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
acexmid.choice	|- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )

Assertion

Ref	Expression
acexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, v, u)

Proof of Theorem acexmid

Dummy variables a b c d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ v ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) )
2	1	sb8eu 2055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! f ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) <-> E! v [ v / f ] ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) )
3		eleq12 2258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f = v /\ c = z ) -> ( f e. c <-> v e. z ) )
4	3	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( c = z /\ f = v ) -> ( f e. c <-> v e. z ) )
5	4	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c = z /\ f = v /\ b = y ) -> ( f e. c <-> v e. z ) )
6		eleq12 2258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( c = z /\ e = u ) -> ( c e. e <-> z e. u ) )
7	6	3ad2antl1 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( c = z /\ f = v /\ b = y ) /\ e = u ) -> ( c e. e <-> z e. u ) )
8		eleq12 2258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f = v /\ e = u ) -> ( f e. e <-> v e. u ) )
9	8	3ad2antl2 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( c = z /\ f = v /\ b = y ) /\ e = u ) -> ( f e. e <-> v e. u ) )
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( c = z /\ f = v /\ b = y ) /\ e = u ) -> ( ( c e. e /\ f e. e ) <-> ( z e. u /\ v e. u ) ) )
11		simpl3 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( c = z /\ f = v /\ b = y ) /\ e = u ) -> b = y )
12	10, 11	cbvrexdva2 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c = z /\ f = v /\ b = y ) -> ( E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
13	5, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c = z /\ f = v /\ b = y ) -> ( ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) <-> ( v e. z /\ E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) )
14	13	3com23 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c = z /\ b = y /\ f = v ) -> ( ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) <-> ( v e. z /\ E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) )
15	14	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c = z /\ b = y ) /\ f = v ) -> ( ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) <-> ( v e. z /\ E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) )
16	15	sbiedv 1800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c = z /\ b = y ) -> ( [ v / f ] ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) <-> ( v e. z /\ E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) )
17	16	eubidv 2050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = z /\ b = y ) -> ( E! v [ v / f ] ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) <-> E! v ( v e. z /\ E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) )
18	2, 17	bitrid 192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = z /\ b = y ) -> ( E! f ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) <-> E! v ( v e. z /\ E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) )
19		df-reu 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> E! f ( f e. c /\ E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) ) )
20		df-reu 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v ( v e. z /\ E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4g 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = z /\ b = y ) -> ( E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c = z /\ b = y ) /\ d = w ) -> ( E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
23		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c = z /\ b = y ) /\ d = w ) -> c = z )
24	22, 23	cbvraldva2 2733	. . . . . . . . 9 |- ( ( c = z /\ b = y ) -> ( A. d e. c E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
25	24	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( b = y /\ c = z ) -> ( A. d e. c E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
26	25	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = x /\ b = y ) /\ c = z ) -> ( A. d e. c E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
27		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = x /\ b = y ) /\ c = z ) -> a = x )
28	26, 27	cbvraldva2 2733	. . . . . 6 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( A. c e. a A. d e. c E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
29	28	cbvexdva 1941	. . . . 5 |- ( a = x -> ( E. b A. c e. a A. d e. c E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
30	29	cbvalv 1929	. . . 4 |- ( A. a E. b A. c e. a A. d e. c E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e ) <-> A. x E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
31		acexmid.choice	. . . 4 |- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
32	30, 31	mpgbir 1464	. . 3 |- A. a E. b A. c e. a A. d e. c E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e )
33	32	spi 1547	. 2 |- E. b A. c e. a A. d e. c E! f e. c E. e e. b ( c e. e /\ f e. e )
34	33	acexmidlemv 5917	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   A.wal 1362   E.wex 1503   [wsb 1773   E!weu 2042   A.wral 2472   E.wrex 2473   E!wreu 2474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-tr 4129  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iota 5216  df-riota 5874

This theorem is referenced by: (None)