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Theorem acexmid 5766
Description: The axiom of choice implies excluded middle. Theorem 1.3 in [Bauer] p. 483.

The statement of the axiom of choice given here is ac2 in the Metamath Proof Explorer (version of 3-Aug-2019). In particular, note that the choice function  y provides a value when  z is inhabited (as opposed to nonempty as in some statements of the axiom of choice).

Essentially the same proof can also be found at "The axiom of choice implies instances of EM", [Crosilla], p. "Set-theoretic principles incompatible with intuitionistic logic".

Often referred to as Diaconescu's theorem, or Diaconescu-Goodman-Myhill theorem, after Radu Diaconescu who discovered it in 1975 in the framework of topos theory and N. D. Goodman and John Myhill in 1978 in the framework of set theory (although it already appeared as an exercise in Errett Bishop's book Foundations of Constructive Analysis from 1967).

For this theorem stated using the df-ac 7055 and df-exmid 4114 syntaxes, see exmidac 7058. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2019.)

Hypothesis
Ref Expression
acexmid.choice  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
Assertion
Ref Expression
acexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u)

Proof of Theorem acexmid
Dummy variables  a  b  c  d  e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ v ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e ) )
21sb8eu 2010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! f ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e ) )  <->  E! v [ v  /  f ] ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e ) ) )
3 eleq12 2202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  =  v  /\  c  =  z )  ->  ( f  e.  c  <-> 
v  e.  z ) )
43ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c  =  z  /\  f  =  v )  ->  ( f  e.  c  <-> 
v  e.  z ) )
543adant3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  =  z  /\  f  =  v  /\  b  =  y )  ->  ( f  e.  c  <-> 
v  e.  z ) )
6 eleq12 2202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c  =  z  /\  e  =  u )  ->  ( c  e.  e  <-> 
z  e.  u ) )
763ad2antl1 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  =  z  /\  f  =  v  /\  b  =  y )  /\  e  =  u )  ->  (
c  e.  e  <->  z  e.  u ) )
8 eleq12 2202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  =  v  /\  e  =  u )  ->  ( f  e.  e  <-> 
v  e.  u ) )
983ad2antl2 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  =  z  /\  f  =  v  /\  b  =  y )  /\  e  =  u )  ->  (
f  e.  e  <->  v  e.  u ) )
107, 9anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( c  =  z  /\  f  =  v  /\  b  =  y )  /\  e  =  u )  ->  (
( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
11 simpl3 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( c  =  z  /\  f  =  v  /\  b  =  y )  /\  e  =  u )  ->  b  =  y )
1210, 11cbvrexdva2 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  =  z  /\  f  =  v  /\  b  =  y )  ->  ( E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
135, 12anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  =  z  /\  f  =  v  /\  b  =  y )  ->  ( ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e ) )  <->  ( v  e.  z  /\  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) ) )
14133com23 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  z  /\  b  =  y  /\  f  =  v )  ->  ( ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e ) )  <->  ( v  e.  z  /\  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) ) )
15143expa 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  =  z  /\  b  =  y )  /\  f  =  v )  ->  (
( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e ) )  <->  ( v  e.  z  /\  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) ) )
1615sbiedv 1762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  z  /\  b  =  y )  ->  ( [ v  / 
f ] ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  (
c  e.  e  /\  f  e.  e )
)  <->  ( v  e.  z  /\  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) ) )
1716eubidv 2005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  z  /\  b  =  y )  ->  ( E! v [ v  /  f ] ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e ) )  <->  E! v
( v  e.  z  /\  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) ) )
182, 17syl5bb 191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  z  /\  b  =  y )  ->  ( E! f ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )
)  <->  E! v ( v  e.  z  /\  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
) ) )
19 df-reu 2421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! f  e.  c  E. e  e.  b  (
c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  E! f ( f  e.  c  /\  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e ) ) )
20 df-reu 2421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E! v ( v  e.  z  /\  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2118, 19, 203bitr4g 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  z  /\  b  =  y )  ->  ( E! f  e.  c  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2221adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  =  z  /\  b  =  y )  /\  d  =  w )  ->  ( E! f  e.  c  E. e  e.  b 
( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
23 simpll 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  =  z  /\  b  =  y )  /\  d  =  w )  ->  c  =  z )
2422, 23cbvraldva2 2656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  z  /\  b  =  y )  ->  ( A. d  e.  c  E! f  e.  c  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2524ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  y  /\  c  =  z )  ->  ( A. d  e.  c  E! f  e.  c  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2625adantll 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  /\  c  =  z )  ->  ( A. d  e.  c  E! f  e.  c  E. e  e.  b 
( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
27 simpll 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  /\  c  =  z )  ->  a  =  x )
2826, 27cbvraldva2 2656 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( A. c  e.  a  A. d  e.  c  E! f  e.  c  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2928cbvexdva 1899 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( E. b A. c  e.  a  A. d  e.  c  E! f  e.  c  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
3029cbvalv 1889 . . . 4  |-  ( A. a E. b A. c  e.  a  A. d  e.  c  E! f  e.  c  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )  <->  A. x E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
31 acexmid.choice . . . 4  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
3230, 31mpgbir 1429 . . 3  |-  A. a E. b A. c  e.  a  A. d  e.  c  E! f  e.  c  E. e  e.  b  ( c  e.  e  /\  f  e.  e )
3332spi 1516 . 2  |-  E. b A. c  e.  a  A. d  e.  c  E! f  e.  c  E. e  e.  b 
( c  e.  e  /\  f  e.  e )
3433acexmidlemv 5765 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962   A.wal 1329   E.wex 1468   [wsb 1735   E!weu 1997   A.wral 2414   E.wrex 2415   E!wreu 2416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iota 5083  df-riota 5723
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