Theorem cnvimadfsn 6423

Description: The support of functions "defined" by inverse images expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cnvimadfsn	|- ( `' R " ( _V \ { Z } ) ) = { x | E. y ( x R y /\ y =/= Z ) }

Distinct variable groups:   x, R, y   x, Z, y

Proof of Theorem cnvimadfsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 5085	. 2 |- ( `' R " ( _V \ { Z } ) ) = { x | E. y ( y e. ( _V \ { Z } ) /\ <. y , x >. e. `' R ) }
2		eldifvsn 3810	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. ( _V \ { Z } ) <-> y =/= Z ) )
3	2	elv 2807	. . . . 5 |- ( y e. ( _V \ { Z } ) <-> y =/= Z )
4		vex 2806	. . . . . . 7 |- y e. _V
5		vex 2806	. . . . . . 7 |- x e. _V
6	4, 5	opelcnv 4918	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
7		df-br 4094	. . . . . 6 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
8	6, 7	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> x R y )
9	3, 8	anbi12ci 461	. . . 4 |- ( ( y e. ( _V \ { Z } ) /\ <. y , x >. e. `' R ) <-> ( x R y /\ y =/= Z ) )
10	9	exbii 1654	. . 3 |- ( E. y ( y e. ( _V \ { Z } ) /\ <. y , x >. e. `' R ) <-> E. y ( x R y /\ y =/= Z ) )
11	10	abbii 2347	. 2 |- { x | E. y ( y e. ( _V \ { Z } ) /\ <. y , x >. e. `' R ) } = { x | E. y ( x R y /\ y =/= Z ) }
12	1, 11	eqtri 2252	1 |- ( `' R " ( _V \ { Z } ) ) = { x | E. y ( x R y /\ y =/= Z ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   =/= wne 2403   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   {csn 3673   <.cop 3676   class class class wbr 4093   `'ccnv 4730   "cima 4734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744

This theorem is referenced by: (None)