Theorem cnvimadfsn 6479

Description: The support of functions "defined" by inverse images expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cnvimadfsn	|- ( `' R " ( _V \ { Z } ) ) = { x | E. y ( x R y /\ y =/= Z ) }

Distinct variable groups:   x, R, y   x, Z, y

Proof of Theorem cnvimadfsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 5127	. 2 |- ( `' R " ( _V \ { Z } ) ) = { x | E. y ( y e. ( _V \ { Z } ) /\ <. y , x >. e. `' R ) }
2		eldifvsn 3845	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. ( _V \ { Z } ) <-> y =/= Z ) )
3	2	elv 2825	. . . . 5 |- ( y e. ( _V \ { Z } ) <-> y =/= Z )
4		vex 2824	. . . . . . 7 |- y e. _V
5		vex 2824	. . . . . . 7 |- x e. _V
6	4, 5	opelcnv 4960	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
7		df-br 4129	. . . . . 6 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
8	6, 7	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> x R y )
9	3, 8	anbi12ci 465	. . . 4 |- ( ( y e. ( _V \ { Z } ) /\ <. y , x >. e. `' R ) <-> ( x R y /\ y =/= Z ) )
10	9	exbii 1658	. . 3 |- ( E. y ( y e. ( _V \ { Z } ) /\ <. y , x >. e. `' R ) <-> E. y ( x R y /\ y =/= Z ) )
11	10	abbii 2354	. 2 |- { x | E. y ( y e. ( _V \ { Z } ) /\ <. y , x >. e. `' R ) } = { x | E. y ( x R y /\ y =/= Z ) }
12	1, 11	eqtri 2259	1 |- ( `' R " ( _V \ { Z } ) ) = { x | E. y ( x R y /\ y =/= Z ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   {csn 3708   <.cop 3711   class class class wbr 4128   `'ccnv 4771   "cima 4775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785

This theorem is referenced by: (None)