Theorem dfima3 4943

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima3	|- ( A " B ) = { y | E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) }

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem dfima3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima2 4942	. 2 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }
2		df-br 3977	. . . . 5 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
3	2	rexbii 2471	. . . 4 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x e. B <. x , y >. e. A )
4		df-rex 2448	. . . 4 |- ( E. x e. B <. x , y >. e. A <-> E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) )
5	3, 4	bitri 183	. . 3 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) )
6	5	abbii 2280	. 2 |- { y | E. x e. B x A y } = { y | E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) }
7	1, 6	eqtri 2185	1 |- ( A " B ) = { y | E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   {cab 2150   E.wrex 2443   <.cop 3573   class class class wbr 3976   "cima 4601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-cnv 4606  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611

This theorem is referenced by:  imadmrn  4950  imassrn  4951  imai  4954