Theorem crngring 14312

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	|- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	iscrng 14307	. 2 |- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ (mulGrp ` R ) e. CMnd ) )
3	2	simplbi 274	1 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377  CMndccmn 14087  mulGrpcmgp 14217   Ringcrg 14300   CRingccrg 14301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-cring 14303

This theorem is used by:  crngringd  14313  crngunit  14418  dvdsunit  14419  unitmulclb  14421  unitabl  14424  rmodislmod  14688  quscrng  14870  cnring  14907  zringring  14928  zring0  14935  znzrh2  14981  zndvds0  14985  znf1o  14986  znidom  14992  znunit  14994