Theorem crngring 13770

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	|- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	iscrng 13765	. 2 |- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ (mulGrp ` R ) e. CMnd ) )
3	2	simplbi 274	1 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   ` cfv 5271  CMndccmn 13620  mulGrpcmgp 13682   Ringcrg 13758   CRingccrg 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279  df-cring 13761

This theorem is referenced by:  crngringd  13771  crngunit  13873  dvdsunit  13874  unitmulclb  13876  unitabl  13879  rmodislmod  14113  quscrng  14295  cnring  14332  zringring  14355  zring0  14362  znzrh2  14408  zndvds0  14412  znf1o  14413  znidom  14419  znunit  14421