Theorem crngring 14254

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	|- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	iscrng 14249	. 2 |- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ (mulGrp ` R ) e. CMnd ) )
3	2	simplbi 274	1 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5357  CMndccmn 14040  mulGrpcmgp 14162   Ringcrg 14242   CRingccrg 14243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-cring 14245

This theorem is referenced by:  crngringd  14255  crngunit  14359  dvdsunit  14360  unitmulclb  14362  unitabl  14365  rmodislmod  14628  quscrng  14810  cnring  14847  zringring  14870  zring0  14877  znzrh2  14923  zndvds0  14927  znf1o  14928  znidom  14934  znunit  14936