Theorem crngring 13488

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	|- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	iscrng 13483	. 2 |- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ (mulGrp ` R ) e. CMnd ) )
3	2	simplbi 274	1 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   ` cfv 5246  CMndccmn 13343  mulGrpcmgp 13400   Ringcrg 13476   CRingccrg 13477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5207  df-fv 5254  df-cring 13479

This theorem is referenced by:  crngringd  13489  crngunit  13591  dvdsunit  13592  unitmulclb  13594  unitabl  13597  rmodislmod  13831  quscrng  14013  cnring  14040  zringring  14059  zring0  14066  znzrh2  14111  zndvds0  14115  znf1o  14116  znidom  14122  znunit  14124