Theorem crngring 14102

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	|- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	iscrng 14097	. 2 |- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ (mulGrp ` R ) e. CMnd ) )
3	2	simplbi 274	1 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   ` cfv 5333  CMndccmn 13951  mulGrpcmgp 14014   Ringcrg 14090   CRingccrg 14091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-cring 14093

This theorem is referenced by:  crngringd  14103  crngunit  14206  dvdsunit  14207  unitmulclb  14209  unitabl  14212  rmodislmod  14447  quscrng  14629  cnring  14666  zringring  14689  zring0  14696  znzrh2  14742  zndvds0  14746  znf1o  14747  znidom  14753  znunit  14755