Theorem crngring 13574

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	|- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	iscrng 13569	. 2 |- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ (mulGrp ` R ) e. CMnd ) )
3	2	simplbi 274	1 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5259  CMndccmn 13424  mulGrpcmgp 13486   Ringcrg 13562   CRingccrg 13563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-cring 13565

This theorem is referenced by:  crngringd  13575  crngunit  13677  dvdsunit  13678  unitmulclb  13680  unitabl  13683  rmodislmod  13917  quscrng  14099  cnring  14136  zringring  14159  zring0  14166  znzrh2  14212  zndvds0  14216  znf1o  14217  znidom  14223  znunit  14225