Theorem zringring 15012

Description: The ring of integers is a ring. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringring	|- ℤring e. Ring

Proof of Theorem zringring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 15011	. 2 |- ℤring e. CRing
2		crngring 14396	. 2 |- (ℤring e. CRing -> ℤring e. Ring )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ℤring e. Ring

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   Ringcrg 14384   CRingccrg 14385  ℤ_ringczring 15009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-cj 11623  df-abs 11781  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13665  df-topgen 13667  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-subg 14026  df-cmn 14173  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-cring 14387  df-subrg 14611  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-fg 14970  df-metu 14971  df-cnfld 14978  df-zring 15010

This theorem is used by:  zringabl  15013  zringgrp  15014  zringnzr  15021  dvdsrzring  15022  mulgrhm  15028  zrhval  15036  zrhvalg  15037  zrhex  15040  zlmval  15046  zlmlemg  15047  zlmsca  15051  zlmvscag  15052  znlidl  15053  znval  15055  znle  15056  znbaslemnn  15058  znbas  15063  znzrh2  15065  znzrhval  15066  znzrhfo  15067  zndvds  15068  lgseisenlem4  16358