Theorem unitmulclb 13794

Description: Reversal of unitmulcl 13793 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	|- U = (Unit ` R )
unitmulcl.2	|- .x. = ( .r ` R )
unitmulclb.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitmulclb	|- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U <-> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )

Proof of Theorem unitmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. CRing )
2		unitmulclb.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` R ) )
4		eqid 2204	. . . . . . 7 |- ( ||r ` R ) = ( ||r ` R )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ||r ` R ) = ( ||r ` R ) )
6	1	crngringd 13689	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
7		ringsrg 13727	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. SRing )
9		unitmulcl.2	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` R )
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .x. = ( .r ` R ) )
11		simp2 1000	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
12		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
13	3, 5, 8, 10, 11, 12	dvdsrmuld 13776	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X ( ||r ` R ) ( Y .x. X ) )
14	2, 9	crngcom 13694	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( Y .x. X ) )
15	13, 14	breqtrrd 4071	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) )
16		unitmulcl.1	. . . . . 6 |- U = (Unit ` R )
17	16, 4	dvdsunit 13792	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) /\ ( X .x. Y ) e. U ) -> X e. U )
18	17	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> X e. U ) )
19	1, 15, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> X e. U ) )
20	3, 5, 8, 10, 12, 11	dvdsrmuld 13776	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) )
21	16, 4	dvdsunit 13792	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) /\ ( X .x. Y ) e. U ) -> Y e. U )
22	21	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> Y e. U ) )
23	1, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> Y e. U ) )
24	19, 23	jcad 307	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )
25		crngring 13688	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
26	25	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
27	16, 9	unitmulcl 13793	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U )
28	27	3expib 1208	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U ) )
29	26, 28	syl 14	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U ) )
30	24, 29	impbid 129	1 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U <-> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   Basecbs 12751   .rcmulr 12829  SRingcsrg 13643   Ringcrg 13676   CRingccrg 13677   ||_rcdsr 13766  Unitcui 13767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-tpos 6321  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-cmn 13540  df-abl 13541  df-mgp 13601  df-ur 13640  df-srg 13644  df-ring 13678  df-cring 13679  df-oppr 13748  df-dvdsr 13769  df-unit 13770

This theorem is referenced by: (None)