Theorem unitmulclb 13431

Description: Reversal of unitmulcl 13430 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	|- U = (Unit ` R )
unitmulcl.2	|- .x. = ( .r ` R )
unitmulclb.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitmulclb	|- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U <-> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )

Proof of Theorem unitmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. CRing )
2		unitmulclb.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` R ) )
4		eqid 2189	. . . . . . 7 |- ( ||r ` R ) = ( ||r ` R )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ||r ` R ) = ( ||r ` R ) )
6	1	crngringd 13330	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
7		ringsrg 13366	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. SRing )
9		unitmulcl.2	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` R )
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .x. = ( .r ` R ) )
11		simp2 1000	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
12		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
13	3, 5, 8, 10, 11, 12	dvdsrmuld 13413	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X ( ||r ` R ) ( Y .x. X ) )
14	2, 9	crngcom 13335	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( Y .x. X ) )
15	13, 14	breqtrrd 4046	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) )
16		unitmulcl.1	. . . . . 6 |- U = (Unit ` R )
17	16, 4	dvdsunit 13429	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) /\ ( X .x. Y ) e. U ) -> X e. U )
18	17	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> X e. U ) )
19	1, 15, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> X e. U ) )
20	3, 5, 8, 10, 12, 11	dvdsrmuld 13413	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) )
21	16, 4	dvdsunit 13429	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) /\ ( X .x. Y ) e. U ) -> Y e. U )
22	21	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> Y e. U ) )
23	1, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> Y e. U ) )
24	19, 23	jcad 307	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )
25		crngring 13329	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
26	25	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
27	16, 9	unitmulcl 13430	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U )
28	27	3expib 1208	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U ) )
29	26, 28	syl 14	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U ) )
30	24, 29	impbid 129	1 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U <-> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12486   .rcmulr 12562  SRingcsrg 13284   Ringcrg 13317   CRingccrg 13318   ||_rcdsr 13403  Unitcui 13404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-tpos 6264  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-cmn 13192  df-abl 13193  df-mgp 13242  df-ur 13281  df-srg 13285  df-ring 13319  df-cring 13320  df-oppr 13385  df-dvdsr 13406  df-unit 13407

This theorem is referenced by: (None)