ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitmulclb Unicode version

Theorem unitmulclb 13288
Description: Reversal of unitmulcl 13287 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitmulcl.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
unitmulclb.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
unitmulclb  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  <->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) ) )

Proof of Theorem unitmulclb
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
2 unitmulclb.1 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  R
) )
4 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ||r `  R )  =  (
||r `  R ) )
61crngringd 13197 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
7 ringsrg 13229 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. SRing
)
86, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e. SRing )
9 unitmulcl.2 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
109a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  .x.  =  ( .r `  R ) )
11 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
12 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
133, 5, 8, 10, 11, 12dvdsrmuld 13270 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X
( ||r `
 R ) ( Y  .x.  X ) )
142, 9crngcom 13202 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  =  ( Y  .x.  X
) )
1513, 14breqtrrd 4033 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )
16 unitmulcl.1 . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
1716, 4dvdsunit 13286 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y )  /\  ( X  .x.  Y )  e.  U
)  ->  X  e.  U )
18173expia 1205 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )  ->  ( ( X  .x.  Y )  e.  U  ->  X  e.  U ) )
191, 15, 18syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  ->  X  e.  U )
)
203, 5, 8, 10, 12, 11dvdsrmuld 13270 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )
2116, 4dvdsunit 13286 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Y
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y )  /\  ( X  .x.  Y )  e.  U
)  ->  Y  e.  U )
22213expia 1205 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Y
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )  ->  ( ( X  .x.  Y )  e.  U  ->  Y  e.  U ) )
231, 20, 22syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  ->  Y  e.  U )
)
2419, 23jcad 307 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  -> 
( X  e.  U  /\  Y  e.  U
) ) )
25 crngring 13196 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
26253ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2716, 9unitmulcl 13287 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  U )
28273expib 1206 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  U ) )
2926, 28syl 14 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  e.  U  /\  Y  e.  U
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  U
) )
3024, 29impbid 129 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  <->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   .rcmulr 12539  SRingcsrg 13151   Ringcrg 13184   CRingccrg 13185   ||rcdsr 13260  Unitcui 13261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-tpos 6248  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-cmn 13095  df-abl 13096  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152  df-ring 13186  df-cring 13187  df-oppr 13245  df-dvdsr 13263  df-unit 13264
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator