Theorem unitmulclb 14118

Description: Reversal of unitmulcl 14117 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	|- U = (Unit ` R )
unitmulcl.2	|- .x. = ( .r ` R )
unitmulclb.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitmulclb	|- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U <-> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )

Proof of Theorem unitmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. CRing )
2		unitmulclb.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` R ) )
4		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( ||r ` R ) = ( ||r ` R )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ||r ` R ) = ( ||r ` R ) )
6	1	crngringd 14012	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
7		ringsrg 14050	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. SRing )
9		unitmulcl.2	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` R )
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .x. = ( .r ` R ) )
11		simp2 1022	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
12		simp3 1023	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
13	3, 5, 8, 10, 11, 12	dvdsrmuld 14100	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X ( ||r ` R ) ( Y .x. X ) )
14	2, 9	crngcom 14017	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( Y .x. X ) )
15	13, 14	breqtrrd 4114	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) )
16		unitmulcl.1	. . . . . 6 |- U = (Unit ` R )
17	16, 4	dvdsunit 14116	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) /\ ( X .x. Y ) e. U ) -> X e. U )
18	17	3expia 1229	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> X e. U ) )
19	1, 15, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> X e. U ) )
20	3, 5, 8, 10, 12, 11	dvdsrmuld 14100	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) )
21	16, 4	dvdsunit 14116	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) /\ ( X .x. Y ) e. U ) -> Y e. U )
22	21	3expia 1229	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ Y ( ||r ` R ) ( X .x. Y ) ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> Y e. U ) )
23	1, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> Y e. U ) )
24	19, 23	jcad 307	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )
25		crngring 14011	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
26	25	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
27	16, 9	unitmulcl 14117	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U )
28	27	3expib 1230	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U ) )
29	26, 28	syl 14	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X e. U /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. U ) )
30	24, 29	impbid 129	1 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. U <-> ( X e. U /\ Y e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   .rcmulr 13151  SRingcsrg 13966   Ringcrg 13999   CRingccrg 14000   ||_rcdsr 14089  Unitcui 14090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-tpos 6406  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-cmn 13863  df-abl 13864  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-srg 13967  df-ring 14001  df-cring 14002  df-oppr 14071  df-dvdsr 14092  df-unit 14093

This theorem is referenced by: (None)