Theorem crngring 14361

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	iscrng 14356	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
3	2	simplbi 274	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  CMndccmn 14136  mulGrpcmgp 14266  Ringcrg 14349  CRingccrg 14350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-cring 14352

This theorem is used by:  crngringd  14362  crngunit  14467  dvdsunit  14468  unitmulclb  14470  unitabl  14473  rmodislmod  14737  quscrng  14919  cnring  14956  zringring  14977  zring0  14984  znzrh2  15030  zndvds0  15034  znf1o  15035  znidom  15041  znunit  15043