Theorem crngring 14169

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	iscrng 14164	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
3	2	simplbi 274	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  CMndccmn 14018  mulGrpcmgp 14081  Ringcrg 14157  CRingccrg 14158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-cring 14160

This theorem is referenced by:  crngringd  14170  crngunit  14273  dvdsunit  14274  unitmulclb  14276  unitabl  14279  rmodislmod  14516  quscrng  14698  cnring  14735  zringring  14758  zring0  14765  znzrh2  14811  zndvds0  14815  znf1o  14816  znidom  14822  znunit  14824