Theorem crngring 14152

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
crngring	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem crngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	iscrng 14147	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
3	2	simplbi 274	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  CMndccmn 14001  mulGrpcmgp 14064  Ringcrg 14140  CRingccrg 14141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-cring 14143

This theorem is referenced by:  crngringd  14153  crngunit  14256  dvdsunit  14257  unitmulclb  14259  unitabl  14262  rmodislmod  14499  quscrng  14681  cnring  14718  zringring  14741  zring0  14748  znzrh2  14794  zndvds0  14798  znf1o  14799  znidom  14805  znunit  14807